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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20
Lição 10: Matrizes vistas como transformações- Transformação de vetores usando matrizes
- Use matrizes para transformar vetores de três e quatro dimensões
- Transformação de polígonos usando matrizes
- Transforme polígonos usando matrizes
- Matrizes vistas como transformações
- Matriz a partir da representação visual de transformação
- Representação visual de transformação a partir de matriz
- Matrizes como transformações do plano
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Matrizes vistas como transformações
Aprenda exatamente como matrizes 2x2 atuam como transformações do plano.
Introdução
Pensar nas matrizes como transformações do espaço pode levar a uma melhor compreensão das operações matriciais. Esse ponto de vista ajuda a explicar como definimos operações matriciais como a multiplicação e nos dá uma boa desculpa para
desenhar algumas figuras. Esse material aborda a álgebra linear (geralmente, um tópico do ensino superior).
A multiplicação como uma transformação
Inicialmente, a ideia de uma "transformação" pode parecer mais complicada do que realmente é; então, antes de nos aprofundarmos no modo como matrizes 2, times, 2 se transformam em um espaço bidimensional, ou como matrizes 3, times, 3 se transformam em um espaço tridimensional, vamos ver como os bons e velhos números simples (também conhecidos como matrizes 1, times, 1) podem ser considerados transformações de espaço unidimensional.
O "espaço unidimensional" é simplesmente uma reta numérica.
O que acontece quando você multiplica todos os números da reta por um valor específico, como 2 por exemplo? Uma maneira de ver isso é assim:
Mantemos uma cópia da reta original para servir de referência e, em seguida, arrastamos cada um dos números da reta para a posição que é 2 vezes aquele número.
Da mesma forma, a multiplicação por start fraction, 1, divided by, 2, end fraction poderia ser vista assim:
E, para que os números negativos não se sintam negligenciados, temos aqui a multiplicação por minus, 3:
Para aqueles que gostam de terminologia sofisticada, essas ações animadas podem ser descritas como "transformações lineares de espaço unidimensional". A palavra "transformação" significa o mesmo que "função": algo que insere um número e produz um número, como f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x. No entanto, enquanto normalmente vemos funções com seus gráficos, as pessoas tendem a usar a palavra "transformação" para indicar que, ao invés disso, você deve visualizar algum objeto em movimento, se estendendo, encolhendo, etc. Então, a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x vista como uma transformação resulta no vídeo "Multiplicação por 2" mostrado acima. Ela move o ponto 1 na reta numérica para onde inicialmente estava o 2, move o 2 para onde inicialmente estava o 4, etc.
Antes de prosseguirmos para o espaço bidimensional, há um fato simples, mas importante, que devemos manter em mente. Suponha que você veja uma dessas transformações, sabendo que ela é uma multiplicação por algum número, mas sem saber qual número é esse, assim:
Você pode descobrir qual número está sendo multiplicado na reta por start color #a75a05, start text, s, e, g, u, i, n, d, o, space, end text, 1, end color #a75a05. Nesse caso, 1 ficará onde minus, 3 começou, então é possível afirmar que a animação representa uma multiplicação por minus, 3.
Com o que transformações lineares em duas dimensões se parecem?
Uma transformação linear bidimensional é um tipo especial de função que insere um vetor bidimensional e resulta em outro vetor bidimensional. Assim como anteriormente, nosso uso da palavra "transformação" indica que devemos pensar em algo como contraindo alguma coisa, o que neste caso é o espaço bidimensional. Aqui estão alguns exemplos:
Para nossos propósitos, o que faz com que uma transformação seja considerada linear é a seguinte regra geométrica: a origem deve permanecer fixa e todas as retas devem permanecer retas. Então, todas as transformações na animação acima são exemplos de transformação linear, mas as transformações a seguir não são:
Seguindo vetores específicos durante uma transformação
Imagine que você está assistindo a uma transformação em particular, como esta
Como você poderia descrever isso a um amigo que não estivesse vendo a essa mesma animação? Você já não pode descrevê-la usando um único número; pode apenas seguir o número 1 no caso unidimensional. Para ajudar a manter o controle de tudo, vamos colocar uma seta verde sobre o vetor
,
uma seta vermelha sobre o vetor
,
e colocar uma cópia da grade no fundo.
Agora fica muito mais fácil ver onde as coisas vão ficar. Por exemplo, se assistirmos à animação novamente, e focarmos no vetor , poderemos segui-lo mais facilmente de modo a ver que ele vai parar no vetor .
Podemos representar este fato com a notação a seguir:
Observe que, um vetor como , que se inicia como 2 vezes a seta verde, continua a ser 2 vezes a reta verde depois da transformação. Como a reta verde está em , podemos deduzir que
.
E, em geral,
Da mesma forma, o destino do eixo y inteiro é determinado por onde a seta vermelha
vai parar; que, para esta transformação, é .
Na verdade, como sabemos onde
e
vão parar, podemos deduzir onde todos os pontos no plano devem ir. Por exemplo, vamos seguir o ponto
em nossa animação:
Ele se inicia em minus, 1 vezes a seta verde mais 2 vezes a seta vermelha, mas também termina em minus, 1 vezes a seta verde mais 2 vezes a seta vermelha, o que, após a transformação, significa
Essa capacidade de dividir um vetor em função de seus componentes tanto antes quanto depois da transformação é o que há de tão especial nas transformações lineares.
Representação de transformações lineares bidimensionais com matrizes
Em geral, como cada vetor
pode ser quebrado em
Se a seta verde
vai para algum vetor
,
e a seta vermelha
vai para em algum vetor
,
então o vetor
deve ficar em
Uma forma muito boa de se descrever tudo isso é representando uma determinada transformação linear com a matriz
na qual a primeira coluna nos indica onde
vai parar e a segunda coluna nos indica onde
vai parar. Agora, podemos descrever muito resumidamente onde qualquer vetor
vai parar como o produto matriz-vetor
Na verdade, é daí que vem a definição de um produto matriz-vetor.
Assim, da mesma forma que transformações lineares unidimensionais podem ser descritas como uma multiplicação por algum número, ou seja, por qualquer número em que o 1 apareça em cima, transformações lineares bidimensionais sempre podem ser descritas por uma matriz 2, times, 2, ou seja, por aquela cuja primeira coluna indica onde vai parar, e cuja segunda coluna indica onde vai parar.
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- Por mais que eu tenha me esforçado, não entendo bem o que está sendo descrito neste artigo. Em especial o vídeo (https://www.youtube.com/watch?v=gNMGlQ62MBY) onde é sugerido seguir um ponto durante uma transformação linear. Eu posso segui-lo e até entendo matematicamente o que é dito aqui: −1⋅[1−2]+2⋅[30]=[52] (Nota: ao copiar e colar a matriz, a cola não corresponde a matriz)
Mas ainda assim, o artigo me parece complexo demais e não consigo seguir nos "Problema para prática" - eu errei 90% deles. E neste após o vídeo acima onde diz: "Use essa mesma tática para calcular onde o vetor [1−1] termina."(Nota: ao copiar e colar a matriz, a cola não corresponde a matriz) eu não pude nem formular uma maneira de começar.
Penso que talvez os vídeos possam receber mais informações sobre o processo que ocorre no próprio vídeo. Talvez isso ajude no entendimento. Por exemplo: durante a execução do vídeo acima talvez seja relevante, que, ao lado, em um quadro, seja mostrado, em tempo real, enquanto a ação no vídeo é executada, uma matriz equivalente a cada instante de posição dos vetores. Sei que isso parece complexo para fazer, mas imagino que seria mais fácil entender a relação entre vetores se transformando e a matriz equivalente.
Uma outra opção pode ser uma vídeo aula sobre o assunto.(6 votos)- Também dei meu máximo, li e reli, mas realmente sinto que só consegui captar uns 15% do conteúdo, não sei se o que é dito no artigo é complexo demais ou faltou algo na explicação, mas vendo seu relato deixei um pouco de acreditar que o problema é só comigo!(3 votos)
- Rapá, depois de muito ler e reler entendi onde querem chegar.
A gente tem que saber onde os vetores (1,0) e (0,1) foram parar depois da transformação.
Com estes novos pontos bases a gente pode calcular qualquer vetor depois de aplicada a mesma transformação.
O texto está pessimamente mal traduzido.(5 votos)- não achei o texto muito difícil, mas achei que você resumiu 100% a ideia, sintetizou perfeitamente. Até agradeço.(1 voto)
- Esse artigo tá complicado demais, tem muitas frases e palavras traduzidas ao pé da letra.(2 votos)