Matrizes vistas como transformações

Pensar nas matrizes como transformações do espaço pode levar a uma melhor compreensão das operações matriciais. Esse ponto de vista ajuda a explicar como definimos operações matriciais como a multiplicação e nos dá uma boa desculpa para desenhar algumas figuras. Esse material aborda a álgebra linear (geralmente, um tópico do ensino superior).

Inicialmente, a ideia de uma "transformação" pode parecer mais complicada do que realmente é; então, antes de nos aprofundarmos no modo como matrizes $2 \times 2$2, times, 2 se transformam em um espaço bidimensional, ou como matrizes $3 \times 3$3, times, 3 se transformam em um espaço tridimensional, vamos ver como os bons e velhos números simples (também conhecidos como matrizes $1 \times 1$1, times, 1) podem ser considerados transformações de espaço unidimensional.

O "espaço unidimensional" é simplesmente uma reta numérica.

O que acontece quando você multiplica todos os números da reta por um valor específico, como $2$2 por exemplo? Uma maneira de ver isso é assim:

Mantemos uma cópia da reta original para servir de referência e, em seguida, arrastamos cada um dos números da reta para a posição que é $2$2 vezes aquele número.

Da mesma forma, a multiplicação por $\dfrac{1}{2}$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction poderia ser vista assim:

E, para que os números negativos não se sintam negligenciados, temos aqui a multiplicação por $-3$minus, 3:

Para aqueles que gostam de terminologia sofisticada, essas ações animadas podem ser descritas como "transformações lineares de espaço unidimensional". A palavra "transformação" significa o mesmo que "função": algo que insere um número e produz um número, como $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x. No entanto, enquanto normalmente vemos funções com seus gráficos, as pessoas tendem a usar a palavra "transformação" para indicar que, ao invés disso, você deve visualizar algum objeto em movimento, se estendendo, encolhendo, etc. Então, a função $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x vista como uma transformação resulta no vídeo "Multiplicação por $2$2" mostrado acima. Ela move o ponto $1$1 na reta numérica para onde inicialmente estava o $2$2, move o $2$2 para onde inicialmente estava o $4$4, etc.

Antes de prosseguirmos para o espaço bidimensional, há um fato simples, mas importante, que devemos manter em mente. Suponha que você veja uma dessas transformações, sabendo que ela é uma multiplicação por algum número, mas sem saber qual número é esse, assim:

Você pode descobrir qual número está sendo multiplicado na reta por $\goldE{\text{seguindo }1}$start color #a75a05, start text, s, e, g, u, i, n, d, o, space, end text, 1, end color #a75a05. Nesse caso, $1$1 ficará onde $-3$minus, 3 começou, então é possível afirmar que a animação representa uma multiplicação por $-3$minus, 3.

Uma transformação linear bidimensional é um tipo especial de função que insere um vetor bidimensional $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ e resulta em outro vetor bidimensional. Assim como anteriormente, nosso uso da palavra "transformação" indica que devemos pensar em algo como contraindo alguma coisa, o que neste caso é o espaço bidimensional. Aqui estão alguns exemplos:

Para nossos propósitos, o que faz com que uma transformação seja considerada linear é a seguinte regra geométrica: a origem deve permanecer fixa e todas as retas devem permanecer retas. Então, todas as transformações na animação acima são exemplos de transformação linear, mas as transformações a seguir não são:

Imagine que você está assistindo a uma transformação em particular, como esta

Como você poderia descrever isso a um amigo que não estivesse vendo a essa mesma animação? Você já não pode descrevê-la usando um único número; pode apenas seguir o número $1$1 no caso unidimensional. Para ajudar a manter o controle de tudo, vamos colocar uma seta verde sobre o vetor $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$, uma seta vermelha sobre o vetor $\redD{\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$, e colocar uma cópia da grade no fundo.

Agora fica muito mais fácil ver onde as coisas vão ficar. Por exemplo, se assistirmos à animação novamente, e focarmos no vetor $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right]$, poderemos segui-lo mais facilmente de modo a ver que ele vai parar no vetor $\left[\begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right]$.

Podemos representar este fato com a notação a seguir:

Observe que, um vetor como $\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right]$, que se inicia como $2$2 vezes a seta verde, continua a ser $2$2 vezes a reta verde depois da transformação. Como a reta verde está em $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]}$, podemos deduzir que

$\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] \rightarrow 2 \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -4 \end{array} \right]$.

E, em geral,

Da mesma forma, o destino do eixo $y$y inteiro é determinado por onde a seta vermelha $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ vai parar; que, para esta transformação, é $\redD{\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]}$.

Na verdade, como sabemos onde $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ e $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$ vão parar, podemos deduzir onde todos os pontos no plano devem ir. Por exemplo, vamos seguir o ponto $\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array} \right]$ em nossa animação:

Ele se inicia em $-1$minus, 1 vezes a seta verde mais $2$2 vezes a seta vermelha, mas também termina em $-1$minus, 1 vezes a seta verde mais $2$2 vezes a seta vermelha, o que, após a transformação, significa

Essa capacidade de dividir um vetor em função de seus componentes tanto antes quanto depois da transformação é o que há de tão especial nas transformações lineares.

Em geral, como cada vetor $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ pode ser quebrado em

Se a seta verde $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ vai para algum vetor $\greenD{\left[ \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right]}$, e a seta vermelha $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ vai para em algum vetor $\redD{\left[ \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right]}$, então o vetor $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ deve ficar em

Uma forma muito boa de se descrever tudo isso é representando uma determinada transformação linear com a matriz

na qual a primeira coluna nos indica onde $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ vai parar e a segunda coluna nos indica onde $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ vai parar. Agora, podemos descrever muito resumidamente onde qualquer vetor $\textbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ vai parar como o produto matriz-vetor

Na verdade, é daí que vem a definição de um produto matriz-vetor.

Assim, da mesma forma que transformações lineares unidimensionais podem ser descritas como uma multiplicação por algum número, ou seja, por qualquer número em que o $1$1 apareça em cima, transformações lineares bidimensionais sempre podem ser descritas por uma matriz $2 \times 2$2, times, 2, ou seja, por aquela cuja primeira coluna indica onde $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ vai parar, e cuja segunda coluna indica onde $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$ vai parar.