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Representação visual de transformação a partir de matriz

Transcrição de vídeo

RKA2MP - Se a matriz de transformação é 3, 0, 0, 3, escolha qual esboço pode representar esta transformação quando aplicada neste quadrilátero vermelho. Isto é fascinante. Eles não nos deram coordenadas algumas, nem os vértices deste quadrilátero, que realmente são pontos muito úteis para usarmos quando estamos falando sobre transformações potenciais. Vamos ver o que acontece quando olharmos, em particular, para estas coordenadas aqui. Acho que, desta forma, teremos informações suficientes para chegarmos em alguma conclusão. Eu encorajo você a pausar este vídeo e tentar fazer primeiro sozinho. Coloque alguma coordenada neste quadrilátero e veja em qual destas transformações você chega. Imaginando que você tenha tentado, vamos dizer, apenas por uma questão de argumentação, que você poderia dizer que este ponto bem aqui é um vetor posição. É um ponto e você pode representá-lo como um vetor coluna. Vamos dizer que, como isto é um quadrado, esse vetor coluna é um vetor (1, 1). Eu vou escrever aqui esse vetor, eu vou representar pelo vetor (1, 1). Já este vetor, este ponto aqui de baixo, eu vou representá-lo, continuando com a lógica de que é um quadrado, como vetor (1, -1). Este vai ser o vetor (1, -1). Este aqui, eu vou representá-lo como vetor posição (-1, -1). Este é o vetor posição (-1, -1), um vetor coluna. E por fim, por último, finalmente, este ponto aqui, eu vou representá-lo pelo vetor coluna (-1, 1). Representando aqui pelo ponto (-1, 1). Vamos ver o que esta matriz faz depois da gente transformar estes pontos. Uma maneira de pensar sobre isso é pegar esta matriz de transformação que nós temos aqui, 3, 0, 0, 3, e multiplicá-la por uma outra matriz. Essa outra matriz nada mais é do que a junção de todos estes vetores posição. O primeiro vetor é o vetor (1, 1), que vai entrar aqui, o segundo vetor é este ponto (1, -1), o terceiro vetor é este ponto (-1, 1) e o quarto ponto que a gente vai pegar é este último vetor, (-1, -1). Observe que, para nós, foi conveniente pegar estes números. Estes números tornam a matemática muito mais simples. Eu escolhi eles de maneira conveniente para mim. Isto vai ser igual a quê? Temos uma matriz 2 por 2 e uma matriz 2 por 4. Multiplicação de matrizes definida porque o número de colunas desta matriz é igual ao número de linhas desta matriz. E o produto destas matrizes vai ser uma matriz 2 por 4, uma matriz de duas linhas por quatro colunas. O que faz sentido, porque estas quatro colunas vão ser os novos quatro vetores que a gente vai ter depois da transformação. Vamos descobrir, então, quais serão esses novos vetores posição. Este primeiro vetor posição, esta primeira coluna, vai ser formada pela multiplicação desta linha por esta coluna. 3 vezes 1 = 3, 0 vezes 1 = 0. 3 + 0 = 3. Então, esta primeira entrada vai ser o número 3. Observe que este padrão vai continuar, já que a coordenada y aqui é zero. Quando nós multiplicarmos zero por esta segunda parcela, não vai alterar na hora de somarmos as duas parcelas. O que vai valer para esta primeira entrada, para as entradas de cima, da primeira linha, vai ser a multiplicação da coordenada x. Já aqui embaixo, quando nós fizermos, 0 vezes 1 = 0 mais 3 vezes 1 = 3. 0 + 3 = 3. Já nesta segunda entrada, o que vai fazer a diferença é a coordenada y, já que a coordenada x vale zero. Na hora que multiplicarmos, zero vezes os números aqui de cima vai dar zero. Vamos para a segunda entrada: 3 vezes 1 = 3. Aqui não vai contar, porque zero vezes -1 dá zero. O resultado aqui vai ser 3. Aqui embaixo, zero vezes 1 vai dar zero, mais 3 vezes - 1 = -3. Já aqui embaixo, o que vai contar é a coordenada y, -3. Para a terceira entrada: 3 vezes -1 = -3, mais zero vezes 1, que vai dar zero. Então, aqui vai ser -3. Embaixo: zero vezes -1 dá zero, mais 3 vezes 1 = 3. E, na última entrada, vamos ter: 3 vezes -1 = -3, mais 3 vezes zero, que vai dar zero. Aqui vai ser: -3 + 0 = -3. E a última: zero vezes -1 dá zero, mais 3 vezes - 1 = -3. Novamente, teremos -3. E agora, isto quer dizer exatamente o quê? Basicamente, cada uma destas coordenadas são "empurradas" para fora por um fator 3. Então, este aqui parece ser o mais próximo do que estamos procurando. Como eu sei disso? Vamos olhar para este ponto aqui. Este ponto é o ponto (1, 1). Se ele foi "empurrado", ele se transformou no ponto (3, 3). Na hora de nós localizarmos, olhe: 1, 2, 3. 1, 2, 3. Este, então, é o ponto (3, 3). Acontece a mesma coisa com o ponto (1, -1). O ponto (1, -1) é este ponto aqui. Quando ele for empurrado por um fator 3, nós vamos ter este ponto como sendo o ponto (3, -3). No terceiro ponto, a gente tem o ponto (-1, 1), que está bem aqui. x = -1, y = 1. Quando ele for empurrado por um fator 3: (-3, 3) é este ponto. Finalmente, o último. O ponto (-1, -1). Empurrado para fora, ele foi para o ponto (-3, -3). Definitivamente, este segundo esboço é o que melhor representa a matriz de transformação "T" sendo aplicada no quadrilátero vermelho. É isso, pessoal. Até nosso próximo vídeo!