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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20
Lição 10: Matrizes vistas como transformações- Transformação de vetores usando matrizes
- Use matrizes para transformar vetores de três e quatro dimensões
- Transformação de polígonos usando matrizes
- Transforme polígonos usando matrizes
- Matrizes vistas como transformações
- Matriz a partir da representação visual de transformação
- Representação visual de transformação a partir de matriz
- Matrizes como transformações do plano
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Transformação de polígonos usando matrizes
Neste vídeo, transformamos um triângulo usando uma matriz 2x2. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
[RKA13MC] - Nós já usamos matriz de transformação
para transformar um ponto. O que eu quero fazer neste vídeo é transformar uma série de pontos. Nós temos aqui estes três vetores posição:
p₁, p₂ e p₃. Eu representei o ponto
de cada um deles aqui no plano. Você pode mais ou menos imaginar que estes 3 pontos são
vértices de um triângulo. Olha só,
eu posso ter um lado do triângulo aqui, outro lado bem aqui e outro lado bem aqui. O que eu estou curiosa é: o que será que vai acontecer
se eu transformar esses pontos aqui? Como no último vídeo, eu poderia aplicar
em uma matriz de transformação separadamente para cada um desses pontos e ver em que pontos
eles serão transformados. Ou, ao invés disso, poderia tomar
essa matriz de transformação e multiplicá-la por uma outra matriz composta por esses vetores posição aqui. Então vou fazer isso. Então vamos lá, vou pegar
minha ferramenta de copiar e colar, vou copiar minha matriz de transformação aqui e vou colar lá embaixo porque eu quero multiplicá-la
por uma outra matriz, e essa outra matriz, que vai ser
multiplicada pela matriz de transformação, ela vai ser composto de três colunas, e cada uma dessas colunas
vai ser um desses vetores posição aqui. A primeira coluna vai ser
os elementos 2, 1. A segunda coluna vai ser
composta pelos elementos -2, 0. E a terceira coluna vai ser composta
pelos elementos 0, 2. Basicamente o que eu fiz foi pegar nossa matriz de transformação
e multiplicá-la por uma outra matriz, onde as três colunas dessa outra matriz foram os meus vetores posição aqui. A primeira coluna foi o meu vetor p₁, a segunda coluna foi o meu vetor p₂ e a terceira coluna foi o meu vetor p₃. E agora eu quero saber,
o que isso vai nos dar? Vamos, então,
analisar essa multiplicação aqui. A gente sabe que tem
uma matriz de transformação, uma matriz 2 por 2. Aqui a gente tem uma matriz 2 por 2. Aqui nós temos uma matriz 2 por 3:
2 linhas, 3 colunas. Uma matriz 2 por 3. A gente consegue perceber
que essa multiplicação está definida, porque o número
de colunas desta matriz aqui é igual o número
de linhas desta matriz aqui, então é uma multiplicação definida. A matriz resultante vai ser
uma matriz de 2 por 3. Olha só:
uma matriz de 2 linhas e 3 colunas. Então nós vamos ter
como matriz resultante uma matriz 2 por 3. Então vamos fazer uma matriz 2 por 3, onde a gente já pode perceber
que cada uma dessas colunas vai estar representando
um novo vetor posição, né? Então vamos fazer
essa multiplicação passo a passo. Vamos ver como fica
essa primeira entrada aqui, que vai ser a multiplicação
dessa linha por essa coluna. Então: 2 x 2 = 4,
mais 1 x 1 = 1, 4 + 1 = 5. Aqui nós teremos
essa primeira entrada: 5. Nesta segunda entrada aqui, nós teremos: -1 x 2 = -2,
mais 2 x 1 = 2, -2 + 2 = zero. Então o que aconteceu
com o vetor posição 1 é que ele foi transformado
de "2, 1" para "5, 0". Vamos colocá-lo aqui 1, 2, 3, 4... "5, 0" vai estar bem aqui. Se nós chamarmos esse vetor posição aqui
de vetor posição 1, nós podemos chamar
este vetor aqui de vetor posição 1'. Vamos agora para o vetor posição 2. Vamos multiplicá-lo:
2 x -2 = -4 mais 1 x 0 = 0, -4 + 0 = -4. Então aqui nós teremos: -4. E agora teremos -1 e 2
multiplicando -2 e zero. -1 x -2 = 2, 2 x 0 = 0, 2 + 0 = 2. Então o vetor posição 2
foi transformado em "-4, 2". Vamos colocá-lo aqui no plano:
1, 2, 3, 4... aqui teremos: -4. Subindo até o 2.
Aqui nós teremos o novo vetor posição. Se nós chamarmos este vetor aqui de p₂, este aqui nós podemos dizer
que é o nosso vetor posição 2'. Por último, o vetor 3.
Vetor posição 3. Multiplicaremos: 2 x 0 = 0, mais 1 x 2 = 2, 0 + 2 = 2. E, a última entrada,
-1 x 0 = 0, mais 2 x 2 = 4, 0 + 4 = 4. E o último vetor, vetor de posição 3,
foi transformado no vetor "2, 4". Vamos colocá-lo aqui: "x" valendo 2.
1, 2... Subindo até o 4.
1, 2, 3, 4... Este é o novo vetor posição. Se nós chamarmos este vetor de posição
de "vetor posição 3", o nosso novo vetor vai ser
o nosso vetor posição 3'. E aí gente pode perceber que algo
interessante aconteceu aqui. Nós temos,
como nesses 3 novos vetores de posição, 3 novos vértices que podem formar
um novo triângulo. Algo parecido com isto aqui, olha. A gente pode ter aqui o novo vértice, aqui também. Vamos fazer aqui o primeiro lado
deste triângulo. Aqui temos mais um lado. E aqui nós temos mais um lado
deste novo triângulo. Então o que nós conseguimos fazer? Nós saímos de um triângulo menor, deste triângulo menor aqui, olha, para este triângulo maior aqui. Então transformamos este triângulo menor neste triângulo maior aqui. E uma outra maneira
de você pensar sobre isso é perceber que este triângulo inteiro
foi transformado, não apenas os vértices, como parece. Eu não estou provando isso, mas se você tomasse
qualquer ponto deste triângulo menor, você teria transformado este ponto
em um correspondente no triângulo maior. O legal disso é que eu espero
que você esteja começando a apreciar o poder da matriz de transformação. Eu espero que você comece
a gostar e apreciar, porque isso é muito útil
quando você começa a pensar sobre coisas como games
de computador e animações. As matrizes de transformação
nos permitem fazer isso, e é o que esses programas
de computador fazem, eles veem as coisas
com perspectivas diferentes. Eles estão usando
matrizes de transformação, multiplicando as coordenadas com a finalidade de obter
novas coordenadas com base na posição,
ou no ponto de vista do jogador, ou na posição ou ponto de vista da câmera, ou na câmera virtual
em um mundo de computação gráfica. Assim, eu consegui tirar
várias coisas legais daqui, nós não apenas transformamos um ponto, como transformamos três pontos que poderiam representar
os vértices de um triângulo. E você pode ver como esse tipo
de extensão, ou esse tipo de rotação ocorre quando usamos
matriz de transformação. Se usássemos uma matriz
de transformação diferente, teríamos uma transformação diferente. Nós não só vimos como fazer
essa transformação, mas vimos como podemos fazer isso
com múltiplos vetores de posição e, ao mesmo tempo, eu poderia
ter feito isso de forma independente e obteria o mesmo resultado. Isso mostra o poder da matriz
de transformação da computação gráfica, animação e coisas desse tipo. É isso, pessoal!
Até um próximo vídeo!