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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20

Lição 8: Como multiplicar matrizes por matrizes
Matemática
Álgebra (todo o conteúdo)
Matrizes
Como multiplicar matrizes por matrizes
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Multiplicação de matrizes

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Quando multiplicamos uma matriz por uma grandeza escalar (ou seja, um único número), nós simplesmente multiplicamos todos os termos da matriz por essa grandeza escalar. Também podemos multiplicar uma matriz por outra matriz, mas esse processo é mais complicado. Ainda assim, é muito bonito e interessante. Este artigo te ensina a fazer isso.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma matriz é um conjunto retangular de números organizados em linhas e colunas. Cada número de uma matriz leva o nome de elemento ou entrada.
Por exemplo, a matriz A tem 2 linhas e 3 colunas. O elemento a, start subscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, comma, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, end subscript está localizado na start color #11accd, 2, start superscript, a, end superscript, start text, space, l, i, n, h, a, end text, end color #11accd e na start color #e07d10, 1, start superscript, a, end superscript, start text, c, o, l, u, n, a, end text, end color #e07d10 da matriz A, ou seja, é o 5.
Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às matrizes. Você também deve ter certeza de que sabe como multiplicar uma matriz por um escalar.

O que você vai aprender nessa lição

Como calcular o produto de duas matrizes. Por exemplo, calcule
[1724]⋅[3352]\left[\begin{array}{rr}{1} &7 \\ 2& 4 \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{rr}{3} &3 \\ 5& 2 \end{array}\right]

Multiplicação escalar e multiplicação de matrizes

Quando trabalhamos matrizes, chamamos os números reais de escalares.
2⋅[5231]=[2⋅52⋅22⋅32⋅1]=[10462]\begin{aligned} \blueD 2\cdot\left[ \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right] &=\left[ \begin{array}{cc} \blueD 2\cdot 5 & \blueD 2\cdot 2 \\ \blueD 2\cdot 3 & \blueD 2\cdot 1 \end{array} \right] \\\\ &=\left[ \begin{array}{cc} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array} \right] \end{aligned}
O termo multiplicação escalar refere-se ao produto de um número real com uma matriz. Em multiplicações escalares, cada elemento da matriz é multiplicado pelo escalar determinado.
Por outro lado, o termo multiplicação de matrizes refere-se ao produto de duas matrizes. Esta operação é completamente diferente da anterior. É mais complicada, mas também é mais interessante! Vamos ver como se faz.
Entender como encontrar o produto escalar de duas listas de números ordenadas nos ajudará tremendamente nesta tarefa, então, vamos aprender um pouco mais sobre isto.

Ênuplas e o produto escalar

Já conhecemos os pares ordenados, por exemplo left parenthesis, 2, comma, 5, right parenthesis e até os trios ordenados, como left parenthesis, 3, comma, 1, comma, 8, right parenthesis.
Uma ênupla é a generalização desse conceito. É uma lista ordenada de n números.
Podemos calcular o produto escalar de duas ênuplas de comprimento igual somando os produtos de seus elementos correspondentes.
Por exemplo, para calcular o produto escalar de dois pares ordenados, multiplicamos as primeiras coordenadas e as segundas coordenadas e somamos os resultados.
(2,5)⋅(3,1)=2⋅3+5⋅1=6+5=11\begin{aligned}(\purpleC2,\greenD5)\cdot (\purpleC3,\greenC1)&=\purpleC2\cdot \purpleC3+\greenD5\cdot \greenD1\\ \\ &=6+5\\ \\&=11 \end{aligned}
Ênuplas ordenadas frequentemente são indicadas por uma variável com uma seta no topo. Por exemplo, podemos ter a, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 3, comma, 1, comma, 8, right parenthesis e b, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 4, comma, 2, comma, 3, right parenthesis. A expressão a, with, vector, on top, dot, b, with, vector, on top indica que o produto escalar desses dois trios ordenados pode ser calculada assim:
a⃗⋅b⃗=(3,1,8)⋅(4,2,3)=3⋅4+1⋅2+8⋅3=12+2+24=38\begin{aligned}\vec{a}\cdot \vec{b}&=(\purpleC 3,\greenD1,\maroonC8)\cdot (\purpleC4, \greenD2, \maroonC3 )\\\\&=\purpleC3\cdot \purpleC4+\greenD1\cdot \greenD2+\maroonC8\cdot \maroonC3\\ \\ &=12+2+24\\ \\&=38 \end{aligned}
Observe que o produto escalar de duas ênuplas de comprimento igual será sempre um único número real.

Teste seu conhecimento

1) Sejam c, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 4, comma, 3, right parenthesis e d, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 3, comma, 5, right parenthesis.
c, with, vector, on top, dot, d, with, vector, on top, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Sejam m, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 2, comma, 5, comma, minus, 2, right parenthesis e n, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 1, comma, 8, comma, minus, 3, right parenthesis.
m, with, vector, on top, dot, n, with, vector, on top, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Matrizes e ênuplas

Ao multiplicar matrizes, podemos considerar cada linha e coluna da matriz como uma ênupla.
c1⃗c2⃗↓↓l1⃗→l2⃗→[6423]\begin{array}{rccc} &\goldD{\vec{c_1}}&\goldD{\vec{c_2}} \\ &\goldD\downarrow&\goldD\downarrow \\\\ \begin{array}{c}\blueD{\vec{l_1}\rightarrow} \\\blueD{\vec{l_2}\rightarrow}\end{array} &\left[\begin{array}{c}6\\4\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right] \end{array}
Nessa matriz, a linha 1 é denotada por start color #11accd, l, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd, equals, left parenthesis, 6, comma, 2, right parenthesis e a linha 2 é denotada por start color #11accd, l, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd, equals, left parenthesis, 4, comma, 3, right parenthesis.
Analogamente, a coluna 1 é denotada por start color #e07d10, c, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10, equals, left parenthesis, 6, comma, 4, right parenthesis e a coluna 2 é denotada por start color #e07d10, c, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10, equals, left parenthesis, 2, comma, 3, right parenthesis.

Teste seu conhecimento

c1⃗c2⃗c3⃗↓↓↓l1⃗→l2⃗→l3⃗→[162331574]\begin{array}{rccc} &\goldD{\vec{c_1}}&\goldD{\vec{c_2}}&\goldD{\vec{c_3}} \\ &\goldD\downarrow&\goldD\downarrow&\goldD\downarrow \\\\ \begin{array}{c}\blueD{\vec{l_1}\rightarrow} \\\blueD{\vec{l_2}\rightarrow} \\\blueD{\vec{l_3}\rightarrow}\end{array} &\left[\begin{array}{c}1\\6\\2\end{array}\right. &\begin{array}{c}3\\3\\1\end{array} &\left.\begin{array}{c}5\\7\\4\end{array}\right] \end{array}
3) Quais das seguintes triplas ordenadas é c, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top?
Escolha 1 resposta:

Multiplicação de matrizes

Agora, estamos prontos para examinar um exemplo de multiplicação de matrizes.
Dadas A=[1724]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &7 \\ 2& 4 \end{array}\right] e B=[3352]B=\left[\begin{array}{rr}{3} &3 \\ 5& 2 \end{array}\right], vamos calcular a matriz C, equals, A, B.
Para nos ajudar a compreender, vamos rotular as linhas na matriz A e as colunas na matriz B. Podemos definir o produto das matrizes, matriz C, como mostrado abaixo.
b1⃗b2⃗↓↓a1⃗→a2⃗→[1274]⋅[3532]=[a1⃗⋅b1⃗a2⃗⋅b1⃗a1⃗⋅b2⃗a2⃗⋅b2⃗]ABC\begin{array}{ccccccccc} &&&&\goldD{\vec{b_1}}&\goldD{\vec{b_2}} \\ &&&&\goldD\downarrow&\goldD\downarrow \\\\ \begin{array}{c}\blueD{\vec{a_1}\rightarrow} \\\blueD{\vec{a_2}\rightarrow}\end{array} &\left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}7\\4\end{array}\right] &\cdot &\left[\begin{array}{c}3\\5\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right] &= &\left[\begin{array}{c}\blueD{\vec{a_1}}\cdot\goldD{\vec{b_1}}\\\blueD{\vec{a_2}}\cdot\goldD{\vec{b_1}}\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}\blueD{\vec{a_1}}\cdot\goldD{\vec{b_2}}\\\blueD{\vec{a_2}}\cdot\goldD{\vec{b_2}}\end{array}\right] \\\\ &A&&&B&&&C \end{array}
Note que cada entrada na matriz C é o produto escalar entre uma linha na matriz A e uma coluna na matriz B. Mais especificamente, a entrada c, start subscript, start color #11accd, i, end color #11accd, comma, start color #e07d10, j, end color #e07d10, end subscript é o produto escalar entre start color #11accd, a, start subscript, i, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd e start color #e07d10, b, start subscript, j, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10.
Por exemplo, start color #1fab54, c, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, end color #1fab54 é o produto escalar de start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd e start color #e07d10, b, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10.
[1274]⋅[3532]=[a1⃗⋅b1⃗a2⃗⋅b1⃗17a2⃗⋅b2⃗]\begin{array}{ccccc} \left[\begin{array}{c}\bold\blueD 1\\2\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}\bold\blueD 7\\4\end{array}\right] &\cdot &\left[\begin{array}{c}3\\5\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}\bold\goldD 3\\\bold\goldD 2\end{array}\right] &= &\left[\begin{array}{c}\vec{a_1}\cdot\vec{b_1}\\\vec{a_2}\cdot\vec{b_1}\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}\bold\greenD{17}\\\vec{a_2}\cdot\vec{b_2}\end{array}\right] \end{array}
Podemos completar os produtos escalares para encontrar a matriz produto completa:
C=[38172614]C=\left[\begin{array}{rr}{38} &17 \\ 26& 14 \end{array}\right]

Teste seu conhecimento

4) C=[2152]C=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 5& 2 \end{array}\right] e D=[1436]D=\left[\begin{array}{rr}{1} &4 \\ 3& 6 \end{array}\right].
Seja F, equals, C, dot, D.
a) Quais dos seguintes números é f, start subscript, 2, comma, 1, end subscript?
Escolha 1 resposta:

b) Calcule F.
F, equals

5) X=[4123]X=\left[\begin{array}{rr}{4} &1 \\ 2& 3 \end{array}\right] e Y=[2854]Y=\left[\begin{array}{rrr}{2} &8 \\ 5& 4 \end{array}\right].
Calcule Z, equals, X, dot, Y.
Z, equals

6) M=[283541]M=\left[\begin{array}{rrr}{2} &8 &3 \\ 5& 4&1 \end{array}\right] e N=[416324]N=\left[\begin{array}{rr}{4} &1 \\ 6& 3\\2&4 \end{array}\right].
Seja P, equals, M, dot, N.
a) Quais dos seguintes números é p, start subscript, 1, comma, 2, end subscript?
Escolha 1 resposta:

b) Calcule P.
P, equals

Por que a multiplicação de matrizes é definida dessa maneira?

Até agora, as operações com matrizes eram bastante intuitivas. Por exemplo, para somar duas matrizes, deve-se somar seus elementos correspondentes.
Mas com a multiplicação, as coisas são um pouco diferentes. Para multiplicar duas matrizes, não podemos simplesmente multiplicar seus elementos correspondentes.
Se isso parece um pouco confuso, recomendamos que você dê uma olhada nos artigos a seguir. Neles você encontrará a multiplicação de matrizes sendo colocada em prática.

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