Introdução à multiplicação de matrizes

RKA8JV - Digamos que eu tenha duas matrizes 2 por 2. A primeira é essa daqui. Vou colocar os elementos 2 e -2, 5 e 3. E a segunda matriz, que eu vou fazer também 2 por 2, para ficar mais simples aqui no início, eu vou colocar os elementos -1, 4, 7 e -6. O que eu quero fazer com esse vídeo é introduzir para vocês como funciona a convenção matemática para se multiplicar duas matrizes como essa daqui. O fato é que os matemáticos poderiam ter definido a multiplicação de matrizes de diversas maneiras diferentes, mas, a convenção que vou mostrar para vocês aqui no vídeo é uma convenção que é normalmente utilizada. E é feita dessa forma porque, especialmente quando você vai para a computação gráfica, ou na matéria de álgebra linear, ou até mesmo modelando diferentes tipos de fenômenos, você vai ver por que esse tipo de multiplicação, que vou mostrar para vocês nesse vídeo, tem mais aplicações. Mas deixando claro, isso é uma construção humana, os humanos definiram como seria a multiplicação entre matrizes. Eles fizeram isso, dessa maneira que vou apresentar para vocês, de maneira que fique útil. Então vamos pensar como isso poderia ser. Mas novamente, eu reforço, é uma construção humana, a multiplicação entre matrizes poderia ser feita da mesma forma que a soma, por exemplo. Como é feita a soma entre matrizes? As entradas correspondentes são simplesmente somadas e pronto. Então, uma das maneiras de definir a mutiplicação seria, por que não, né, pegar as entradas correspondentes e multiplicar. Dessa forma, seria 2 vezes -1, aqui daria -2, -2 vezes 4, aqui daria -8, 5 vezes 7, 35, 6 vezes -3, -18. É exatamente dessa forma que a gente soma duas matrizes. Mas essa não é a forma padrão de se multiplicar duas matrizes, tá bom? A maneira como a multiplicação de duas matrizes é feita, é pegando essa linha aqui, certo? E multiplicando por essa coluna aqui. Mas o que será que significa pegar o produto entre uma linha em uma coluna? E se você está familiarizado com o produto escalar, um vetor, você sabe que a multiplicação é feita pelos termos correspondentes, digamos, 2 vezes -1 e -2 vezes 7, e depois somando esses resultados, é exatamente isso nós vamos fazer aqui. Nós vamos fazer o produto escalar entre essa linha e essa coluna, e o resultado vai ser esse termo aqui, nessa parte superior esquerda da matriz. Se a palavra ''produto escalar'' não faz sentido para você, eu vou mostrar o que significa. Na verdade eu vou dar um espaço maior aqui, porque nessa primeira vez que a gente multiplica matrizes, a gente vai precisar desse espaço aqui, tá bom? Portanto, essa parte superior esquerda da matriz aqui, vai ser 2 vezes -1, eu vou botar aqui, (2)( -1) mais (-2), que é esse -2 aqui, que multiplica por 7. Como você pode perceber, eu peguei o produto entre o primeiro termo da linha e o primeiro termo da coluna, e depois estou somando com o segundo termo da linha, e segundo termo da coluna. Isso é como pegar o produto escalar desse vetor linha e desse vetor coluna. Mas não se preocupe se você não entendeu essa coisa toda de vetor e produto escalar, tá? É só você pegar o primeiro termo, e o primeiro termo, multiplicar, segundo termo e segundo termo, multiplicar, e depois somar o resultado. Isso aqui vai nos dar um número que a gente vai calcular, exatamente, daqui a pouco. Agora, para a gente escrever esse termo daqui, da nova matriz, da matriz de uma multiplicação, a gente vai pegar a primeira linha dessa matriz e multiplicar pela segunda coluna dessa matriz aqui. Se você pensar bem, isso faz todo o sentido, porque a gente vai estar, nesse caso aqui, na primeira linha e na segunda coluna, é ou não é? Então, primeira linha, segunda coluna, vai ser 2 vezes 4, vou botar aqui 2 vezes 4, mais -2 vezes -6. Nesse ponto do vídeo, eu te encorajo a pausar, para tentar descobrir quais serão os outros dois elementos dessa matriz. Eu vou te dar uma dica: tem a ver com essa segunda linha da primeira matriz, beleza? Então, presumindo que você já tentou fazer, vamos tentar resolver aqui, porque as vezes a multiplicação de matriz vai dar um certo trabalho, vamos lá. Para calcular esse termo aqui, como nós estamos na segunda linha dessa matriz, vamos usar a segunda linha da primeira matriz. E para esse elemento específico, que está na primeira coluna, nós vamos usar a segunda linha, e primeira coluna. Vamos lá então, vai ser 5 vezes -1 mais 3 vezes 7. Finalmente, para a gente descobrir esse termo aqui, basta multiplicar a segunda linha pela segunda coluna. Então, vai ser o que? 5 vezes 4, sim ou não? 5 vezes 4 mais 3 vezes -6. Beleza? E aí, como vamos simplificar tudo isso? Ora, fazendo as contas, 2 vezes -1 dá -2, mais, -2 vezes 7, -14, então, -2 menos 14 vai dar igual a -16. Aqui nós temos 8 mais 12, isso vai dar igual a 20. Esse termo aqui, -5 + 21, vai dar igual a 16 positivo. E, finalmente, 20 mais -18, né, vai ser 20 - 18, vai dar igual a 2. Agora, escrevendo o resultado final dessa multiplicação, nós estamos multiplicando essa matriz por essa, Isso vai dar igual a -16, 20 positivo, 16 positivo, e, finalmente, 2. E assim, a gente conclui essa multiplicação de matrizes. E nos vemos no próximo vídeo!