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Dimensões da matriz identidade

Neste vídeo, explicamos por que a matriz identidade é sempre uma matriz quadrada, mesmo que funcione com matrizes não quadradas. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2MP - Nós temos aqui uma matriz C qualquer. Eu tenho uma matriz C, vou dar uma forçadinha para parecer que estou fazendo a matriz em negrito. Esta matriz C vai ter dimensões: "a" linhas por "b" colunas. Eu posso dizer que esta matriz é uma matriz "a" por "b". O que eu vou querer fazer com esta matriz é multiplicá-la pela matriz identidade. A gente sabe que a matriz identidade, o símbolo dela é I. Vou forçar aqui para também tentar botar em negrito. Eu quero saber quanto é que dá esta multiplicação. Pela própria propriedade da matriz identidade, a gente sabe que o resultado disto é a própria matriz C. A propriedade de identidade nos diz isso, também com as mesmas dimensões "a" por "b". O resultado desta matriz vai ter as mesmas dimensões da matriz C, ou seja, "a" linhas e "b" colunas. Com base nisto, quais serão as dimensões da matriz identidade? Eu proponho que você pause o vídeo e tente trabalhar com isso sozinho. Nós já fizemos exercícios deste tipo, em que olhávamos para a matriz identidade, mas este, especificamente, está bem mais generalizado. Estou me referindo ao fato de ter generalizado as dimensões da matriz C. Vamos lá, nós sabemos que um produto entre matrizes só pode ser definido se o número de linhas da segunda matriz for igual ao número de colunas da primeira matriz. Ou seja, se nesta matriz C nós temos "a" linhas, obrigatoriamente, para este produto existir, o número de colunas desta primeira matriz também tem que ser "a". Já sabemos que o número de colunas da primeira matriz é "a". E o número de linhas desta primeira matriz, quanto deve ser? Assim como nós sabemos que este produto só está definido porque o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, nós também sabemos que, quando existe o produto, o número de linhas que o produto recebe vem do número de linhas da primeira matriz que está sendo multiplicada. Então, se este produto C tem "a" linhas, esse "a" veio do número de linhas desta matriz identidade. Então, nós também podemos dizer que o número de linhas desta matriz identidade é "a". E o que isso tem de interessante? Quando nós apresentamos a primeira vez matriz identidade, nós a multiplicamos por um exemplo de uma matriz 3 por 3 e obtivemos uma matriz identidade também 3 por 3. O interessante, que nós acabamos de comprovar, é que essa matriz identidade serve para qualquer outra matriz, não apenas para matrizes quadradas. "a" e "b" podem ter qualquer valor, sendo eles iguais ou não. E a matriz identidade sempre será uma matriz quadrada, ou seja, esta matriz identidade terá "a" linhas e "a" colunas. E quando se trata de matrizes quadradas, será que a gente precisa dizer: "Ah, se trata de uma matriz 2 por 2, 3 por 3, 4 por 4 ou 1 por 1"? Pela convenção, a gente não precisa escrever uma matriz 2 por 2 identidade assim. Nós sabemos que, se for uma matriz 2 por 2 identidade, a gente vai ter 1, 0, 0, 1. Só que, pela convenção, basta a gente escrever uma matriz identidade 2. Nós sabemos que, se for uma matriz identidade de ordem 2, vai ser uma matriz 1, 0, 0, 1. Se for uma matriz identidade 5, por exemplo. Uma matriz identidade de ordem 5, a gente sabe que vai ser: 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0 e 0, 0, 0, 0, 1. Esta é uma matriz identidade. O que eu quero dizer: uma matriz identidade vai ser sempre uma matriz quadrada, mesmo que ela não esteja sendo multiplicada por outra matriz quadrada. A multiplicação dela não precisa ser exatamente por uma outra matriz quadrada. A matriz identidade, obrigatoriamente, vai ser sempre uma matriz quadrada. É isso, pessoal. Até nosso próximo vídeo!