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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20
Lição 9: Propriedades da multiplicação de matrizes- Operações definidas de matrizes
- Dimensões na multiplicação de matrizes
- Introdução à matriz identidade
- Introdução à matriz identidade
- Dimensões da matriz identidade
- A multiplicação de matrizes é comutativa?
- Propriedade associativa da multiplicação de matrizes
- Matriz nula e multiplicação de matrizes
- Propriedades da multiplicação de matrizes
- Usando as propriedades das operações de matriz
- Usando as matrizes identidade e nula
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Usando as matrizes identidade e nula
Neste vídeo, resolvemos um problema em que temos que determinar se as matrizes desconhecidas são nulas ou identidade para tornar verdadeira uma equação. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP O que temos aqui é uma equação matricial. A matriz A vezes isto, mais a matriz B vezes isto,
mais a matriz C vezes isto, é igual a esta matriz quadrada, uma matriz com dimensões 2 por 2. O que eu quero saber é: quais seriam
estas matrizes A, B e C? Diante desta configuração, posso dar
uma dica para vocês. Posso dizer que estas matrizes A, B e C serão: ou matrizes chamadas de "matriz identidade",
que nós já estudamos, ou serão matrizes chamadas de "matriz nula". Eu proponho que você pause o vídeo
e tente resolver este enigma sozinho. Estas matrizes serão identidades ou nulas? Em qual você encaixaria cada uma delas? Supondo que você tenha tentado, vamos analisar
esta matriz, entrada por entrada. Nesta primeira entrada, como a gente conseguiu obter este 2 que está no canto superior esquerdo? A gente sabe que, quando multiplica uma matriz
pela matriz identidade, o resultado é a própria matriz. E, quando a gente multiplica uma matriz pela matriz nula, o resultado é zero. Todas as entradas irão zerar. Sabendo disso, imagine que a gente tenha a matriz "A"
como sendo a matriz nula. Se a matriz "B" e a matriz "C" forem as matrizes identidade, elas continuarão com estas duas entradas valendo 1 e a soma vai dar este 2. Mas a gente pode ter o contrário. A gente pode ter a matriz "B" como sendo a matriz nula e a matriz "A" e "C" sendo identidade. A gente vai continuar tendo as duas entradas
como sendo 1 e a soma vai continuar sendo 2. Ou, ainda, a gente pode ter a "C"
como sendo a matriz nula. A soma de "A" e "B" vai continuar sendo 1 + 1,
e o resultado também vai dar 2. O que a gente consegue concluir desta primeira entrada é que duas destas matrizes serão as identidades
e uma vai ser a nula. Mas ainda não conseguimos saber qual delas
vai ser a nula e quais as outras duas serão as identidades. Agora vamos olhar para esta entrada aqui. Como será que nós conseguimos somar até o 4? Vamos ver. Se a matriz "A" for uma matriz identidade e "B" for uma matriz identidade, iremos, essencialmente, somar esta matriz
mais esta matriz. 3 somado com -5 não é igual a 4. Então, esta configuração de "A" e "B" serem matrizes identidades e "C" ser a matriz nula não funciona. Vamos analisar outras combinações. Como será que fica se tivermos "B" e "C" sendo matrizes identidades, e "A" sendo a matriz nula? Nesta situação, "A" não vai ter importância para a soma. A matriz "B" vezes a matriz identidade vai dar
esta própria matriz e "C" vezes a matriz identidade
vai dar esta própria matriz, porque "B" e "C" são matrizes identidades. E aí ficaríamos com -5 somado com 1. -5 + 1 = -4, então, esta combinação também não funciona. O último cenário, então. O que temos
que lembrar primeiro? "B" não vai poder ser matriz identidade, porque, nas duas combinações anteriores,
"B" era identidade e não deu certo. Então, temos que a matriz nula vai ser a matriz "B", "A" vai ser matriz identidade
e "C" também será matriz identidade. Teremos "A" e "C" como matrizes identidades,
vamos ver se isso faz sentido. Se esta matriz for matriz identidade e esta matriz também for matriz identidade, simplificando tudo, o que nós teremos?
"B" vai ser matriz nula. Nós teremos o seguinte: a matriz 1, 3, 4, -2, somada com a matriz 1, 1, 3, 2 e a soma disto vai dar... Vamos observar. 1 + 1 = 2.
3 + 1 = 4. 4 + 3 = 7.
E -2 + 2 = 0, confirmando que esta é a combinação correta. Até mais, gente, em um próximo vídeo!