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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20

Lição 2: Como representar sistemas lineares de equações com matrizes aumentadas
Matemática
Álgebra (todo o conteúdo)
Matrizes
Como representar sistemas lineares de equações com matrizes aumentadas
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Como representar um sistema linear com matrizes

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Aprenda como os sistemas de equações lineares podem ser representados por matrizes expandidas.
Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas.
As matrizes podem ser usadas para resolver sistemas de equações. Mas primeiro, temos que aprender como representar sistemas com matrizes.

Como representar um sistema linear com matrizes

Um sistema de equações pode ser representado por um matriz aumentada.
Em uma matriz aumentada, cada linha representa uma equação do sistema e cada coluna representa uma variável ou termos constantes.
Assim, podemos ver que matrizes aumentadas são uma forma abreviada de escrever sistemas de equações. A organização dos números na matriz torna desnecessário escrever vários símbolos como x, y e equals, mas todas as informações ainda estão lá!

Teste seu conhecimento

1) Qual matriz representa o sistema?
2x+3y=85x+2y=2\begin{aligned} 2x+3y &= 8 \\ 5x+2y &=2 \\\end{aligned}
Escolha 1 resposta:

2) Escreva o seguinte sistema de equações como uma matriz aumentada.
7x+4y=36x+3y=5\begin{aligned} 7x+4y &= 3 \\ 6x+3y&=5 \\ \end{aligned}

Vamos analisar outro exemplo

Agora que temos o básico, vamos dar uma olhada em um exemplo um pouco mais complicado.

Exemplo

Escreva o seguinte sistema de equações como uma matriz aumentada.
3x−2y=4x+5z=−3−4x−y+3z=0\begin{aligned} 3x-2y&= 4 \\ x+5z &= -3 \\ -4x-y+3z &= 0 \end{aligned}

Solução

Para facilitar as coisas, vamos reescrever o sistema para mostrar cada um dos coeficientes claramente. Se um termo variável não está escrito em uma equação, significa que o coeficiente é 0.
3x+(−2)y+0z=   41x+      0y+5z=−3−4x+(−1)y+3z=   0\begin{aligned} \greenD3x&+(\purpleC{-2})y+\goldD{0}z=\blueD {~~~4} \\ \greenD 1x&+\purpleC{~~~~~~0}y+\goldD{5}z = \blueD{-3} \\ \greenD{-4}x&+(\purpleC{-1})y+\goldD3z =\blueD{~~~0} \end{aligned}
Isso corresponde à seguinte matriz aumentada.
Novamente, observe que cada coluna corresponde a uma variável (start color #1fab54, x, end color #1fab54, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, start color #e07d10, z, end color #e07d10) ou às start color #11accd, start text, c, o, n, s, t, a, n, t, e, s, end text, end color #11accd. Observe também que os números em cada linha correspondem aos coeficientes da mesma equação.
Em geral, antes de converter um sistema em uma matriz aumentada, certifique-se que as variáveis aparecem na mesma ordem em cada equação, e que os termos constantes estão isolados em um lado.

Teste seu conhecimento

3) Qual matriz representa o sistema?
3w−2x+y+5z=10w+2y−4z=5\begin{aligned}3w-2x+y+5z&=10 \\w+2y-4z&=5\end{aligned}
Escolha 1 resposta:

4) Escreva o seguinte sistema de equações como uma matriz aumentada.
−a+b−2c=123a+b=−8\begin{aligned} -a+b-2c&=12\\ 3a+b&=-8 \end{aligned}

Desafios

5) Qual sistema é representado pela matriz aumentada?
[0−3−5841   1252−10]\left[\begin{array}{rr}{0} & {-3} &-5 &8 \\ {4} & {1} &~~~1&2 \\ {5} & {2} &-1&0 \end{array}\right]
Escolha 1 resposta:

6) Qual matriz representa o sistema?
3x+2=12y−8y=2x+15\begin{aligned} 3x+2&=12y \\ -8y &= 2x+15 \end{aligned}
Escolha 1 resposta:

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