Problemas com matrizes: combinação de vetores

RKA18MP - No último vídeo, a gente viu como é uma matriz, e descobrimos que sua inversa pode ser usada para resolver um sistema de equações, além de ter resolvido um sistema 2 por 2. Mais para frente, vamos fazer um sistema 3x3. Não vamos fazer 4x4 porque são muito longos. Mas vê que se aplica a um tipo de matriz "n por n", e isso é provavelmente a aplicação das matrizes que aprende na sua aula de álgebra, no ensino médio ou superior. E frequentemente pensa: por que resolver toda essa matriz? Vou mostrar uma outra aplicação de matrizes que, na verdade, vai ver na aula de álgebra linear quando estiver na faculdade, mas o mais legal é que a representação da matriz é apenas uma forma de representar diversos tipos de problemas. O mais legal é que se problemas diferentes podem ser representados da mesma forma, isso mostra que eles são o mesmo problema. Em matemática, isso é chamado de isomorfismo. Isomorfismo. Se puder reduzir um problema dentro de outro, então todo o trabalho que teve com um deles se aplica ao outro. Mas, enfim, vamos descobrir uma nova maneira pela qual as matrizes podem ser usadas. Vou desenhar alguns vetores, digamos que eu tenha o vetor "a". Vou escrever só com vetor coluna e tudo isso é apenas uma convenção. Essas são coisas inventadas pelo homem. Dava para ter escrito na diagonal, poderia ter escrito de qualquer jeito, mas se eu disser vetor "a" é 3, -6, e olhar como o componente x do vetor, e isto é igual ao componente y do vetor, então tem um vetor "b". Vetor "b". Vetor "b" é igual a 2 e 6. Quero saber se existem algumas combinações de vetores "a" e "b", onde você possa dizer: 5 vezes... 5 vezes vetor "a" mais 3 vezes o vetor "b", ou 10 vezes vetor "a" menos 6 vezes vetor "b", alguma combinação do vetor "a" e "b", onde posso obter o vetor "c". E vetor "c" é o vetor 7 e 6. 7 e 6. Espera aí, eu vou ver se posso desenhar esse problema. Eu vou fazer os eixos coordenados. Vamos ver esse +3 e -6, vai estar em um quadrante. Os dois estão no 1º quadrante, eu só quero descobrir quantos eixos eu preciso desenhar. Deixa eu usar outra cor. É o meu eixo "y". Não estou desenhando o 2º ou 3º quadrante porque eu não acho que nossas vetores apareçam ali. Este é o eixo x. Vou desenhar cada um desses vetores. Primeiro, eu vou fazer o vetor "a", é 3 e -6. 1, 2, 3 e -6, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se eu quisesse desenhar como um vetor, normalmente, começo na origem, e não tem que começar na origem assim. Eu estou só escolhendo. Você pode mover em volta do vetor, tem apenas que ter a mesma orientação e a mesma magnitude. Então, é o vetor "a" em verde. Agora fazer o vetor "b", rosa. É 2 no "x", 6 no "y", 1, 2, 3, 4, 5, 6. 2 e 6, está bem aqui. E é o vetor "b". Vai ser alguma coisa assim. É o vetor "b". Deixa eu escrever "vetor" ali embaixo, que é o vetor "a". Quero pegar alguma combinação dos vetores "a" e "b" e somar para obter o vetor "c". O vetor "c" se parece com o quê? É 7 e 6. Em roxo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 E 6 para "y". (7, 6) ali. É o vetor "c". Vetor "c" vai ser mais ou menos assim. Vou desenhar. E é o vetor "c". Qual era o problema original que eu disse? Eu disse que queria somar alguns múltiplos do vetor "a" a algum múltiplo do vetor "b" e obter o vetor "c". Quero ver quais são aqueles múltiplos. Digamos que o múltiplo que quero multiplicar pelo vetor "a" é "x", e o múltiplo do vetor "b" é "y". Essencialmente, quero dizer que, deixa eu usar outra cor, que o vetor "ax" é quanto do vetor "a" estou contribuindo mais quanto do vetor "b" estou contribuindo, é igual ao vetor "c". E você sabe, talvez não possa, talvez não exista combinações de vetor "a" e "b" quando somo os dois juntos igual ao vetor "c", mas vamos ver se conseguimos resolver. Vamos expandir os vetores "a" e "b". Vetor "a" é quanto? +3, -6. Vetor "a" pode escrever como o vetor 3, -6 vezes "x", isso apenas nos diz quanto do vetor "a" estamos contribuindo, mais vetor "b", que é 2, 6. "y" é quanto do vetor "b" estamos contribuindo. E é igual a 7, 6. Vetor "c". Agora, esse problema pode ser reescrito baseado em como definimos a multiplicação da matriz, etc, como isto: como 3, -6 e 2, 6 vezes "x", "y" é igual a 7, 6. Agora, como isso funciona? Penso como a multiplicação de matriz funciona. A maneira que aprendemos multiplicação de matriz: 3 vezes "x", mais 2 vezes "y" é igual a 7. 3 vezes "x", mais 2 vezes "y" é igual a 7. É como aprendemos multiplicação de matriz. É a mesma coisa aqui: 3 vezes "x", mais 2 vezes "y" será igual a 7. Esse "x" e "y" são números escalares, 3 vezes "x", mais 2 vezes "y" é igual a 7. É a multiplicação de matrizes: -6 vezes "x", mais 6 vezes "y" é igual a 6. É apenas a tradicional multiplicação de matrizes que aprendemos. É a mesma coisa aqui: -6x + 6y é igual a 6. Esse "x" e "y" são apenas números e são apenas números escalares, não são vetores nem nada. Vamos multiplicar vezes os dois números. Espero que veja que esse problema é exatamente a mesma coisa que esse problema. Talvez tenha tido uma luz agora, se assistiu ao vídeo anterior, porque esta matriz também representou o problema onde encontramos a intersecção das 2 linhas, não é? Onde as 2 linhas, e faço só desse lado, onde a intersecção de 2 linhas, 3x +2y é igual a 7, e -6x + 6y é igual a 6. Desenhei as 2 linhas e eu digo: qual é o ponto da intersecção que foi representado por esse problema? Mas aqui tem... bom, eu não vou dizer um problema completamente diferente porque estamos aprendendo que eles são bem parecidos, mas aqui estou fazendo um problema de... estou tentando encontrar qual combinação das matrizes "a" e "b" somam a matriz "c", mas foi reduzido à mesma representação de matriz e dá para resolver da mesma forma que resolvemos esse problema, se chamar de matriz "A". Vamos encontrar uma matriz inversa. Obtemos que uma inversa é igual a quanto? É igual a 1 sobre o determinante de A. O determinante de "a" é 3 vezes 6, 18, menos 12, é 18 + 12, que é 1 sobre 30. A gente fez isso no vídeo anterior: você troca esses dois números e obtém 6 e 3, e faz esses dois negativos e obtém 6 e -2. É uma inversa. Agora, para resolver "x" e "y", dá para multiplicar os dois lados da equação por uma inversa. Se multiplicar uma inversa de "A" vezes "A", é cancelado, pois é igual à matriz identidade. Então obtém "x", "y" é igual a uma inversa vezes este vetor. É igual a 1/30 vezes 6, -2, 6, 3 vezes 7 e 6. Lembre-se: com matrizes, a ordem que multiplica é muito importante. Desse lado, multiplicamos uma inversa desse lado da equação, e tem que fazer uma inveja do lado esquerdo desse lado da equação. É por isso que eu fiz isso aqui. Se fizer de outra forma, todas as apostas estão fora. Isto é igual a quanto? É igual a 1/30 vezes, e fizemos no problema anterior, 6 vezes 7 é 42, menos 12, 30, 6 vezes 7 é 42, mais 18 é 60, então é igual a 1, 2. O que isso nos diz? Diz que se tiver 1 vezes vetor "a" mais 2 vezes vetor "b", 1 vez, isto é 1, e 2 vezes vetor "b", 1 vez vetor "a" mais 2 vezes vetor "b" é igual a vetor "c", e vamos confirmar visualmente. 1 vez vetor "a", é o vetor "a" bem ali. Se somar 2 vetores "b" a isso, devemos obter o vetor "c". Vamos ver se conseguimos fazer isso se a gente só trocar o vetor "b" e ir por esse caminho. Bom, o vetor "b" está sobre 2 e acima de 6, sobre 2 e acima de 6 nos levaria ali, um vetor "b", só fazendo de ponta a ponta, o método visual tomar vetores, a gente seria levando até 1 , 2, 3. Bom, 1, 2, 3, o vetor "b" vai estar sobre 2+, então iremos obter 6, que é assim, é um vetor "b". E se somar um outro? Mas queremos 2 vezes vetor "b". Essencialmente, a gente precisa de 2 vetores "b". Tínhamos 1 e não somamos outro. Acho que visualmente dá para ver que, de fato, faz... Eu não quero mais fazer isso. Queria usar a ferramenta de linha para parecer legal. Você soma um outro vetor "b", e aí está! É o vetor "b". É 2 vezes o vetor "b". É a mesma direção que o vetor "b", mas é 2 vezes o comprimento. Mostramos visualmente e resolvemos isto algebricamente, mas o aprendizado real e a grande descoberta desse vídeo é que a representação da matriz pode ser em problemas diferentes, esse era para encontrar as combinações de um problema de vetor, e o anterior para descobrir se as 2 linhas podem se interceptar. Isso nos diz que esses 2 problemas são conectados de alguma forma profunda, que, se olhar profundamente, vê que são a mesma coisa. Francamente, é por isso que é tão interessante quando você percebe que dois problemas são a mesma coisa, mas isso nos diz que tem alguma verdade fundamental independente da nossa percepção, que está presa em todos esses diferentes conceitos. Enfim, eu não quero que fique muito místico, mas espero que tenha achado bem interessante. Na verdade, eu não sei se vou estourar o tempo, mas eu acho que sim. Muita gente pega álgebra linear e aprende como fazer todas as coisas. Logo, falam: qual é o ponto disso tudo? E é bem interessante de se pensar. A gente tinha esse vetor "a" e o vetor "b", e conseguimos dizer que tem alguma combinação dos vetores "a" e "b" que, quando somamos, fico com o vetor "c". É uma questão interessante, porque quais são os vetores que eu poderia ter apenas somando as combinações dos vetores "a" e "b"? Ou somando, ou subtraindo? Ou, então, multiplicando por números negativos? Mas, de qualquer forma, quais são todos os vetores que eu posso obter pegando combinações lineares dos vetores "a" e "b"? Na verdade, é chamado de espaço vetorial, gerado por vetores "a" e "b", e vamos fazer mais daqueles de álgebra linear. Aqui, estamos lidando com os 2 espaços dimensionais euclidianos. Daria para ter tido 3 vetores dimensionais e poderia ter tido "n" vetores dimensionais, então fica bem abstrato, mas eu acho que é um bom mergulho em álgebra linear também. Enfim, espero que eu não tenha te confundido ou te cansado demais. A gente se vê no próximo vídeo. Fui!