Representação de sistemas lineares com equações matriciais

RKA4JL - O que temos aqui é um sistema com duas equações e duas incógnitas. A gente já viu algumas maneiras de resolver esse tipo de sistema, tanto pelo método da substituição quanto pelo método da adição. Vamos resolver usando esse método da adição. A gente sabe que basta somar o lado esquerdo e depois o lado direito. No caso desse exemplo, quando nós somamos o lado esquerdo essa parte aqui se anula. Aqui vai sobrar -5t com +4t, -t. Esse -t vai ser igual a 7 menos 6. Ou seja, igual a 1. Mas se -t é igual a 1, "t" vai ser igual a -1. E aí a gente já pode descobrir o valor de "s". Vamos substituir nessa primeira equação aqui. Nós temos que 2s menos 5t. -5 vezes -1... "menos" vezes "menos", então é +5. Vamos ter que +5 é igual a 7. Assim fica fácil descobrir o valor de "s" porque menos 2s vai ter de ser igual a 2 para somar com 5 e dar 7. E se 2s tem de ser igual a 2, então "s" é igual a 1. Fizemos uma conta bastante simples. E o que vamos fazer hoje é representar esse sistema. E vamos representá-lo usando a equação matricial. e resolvê-lo usando matrizes inversas. Já aviso que será mais trabalhoso e vai nos tomar mais tempo. Você, provavelmente, vai dizer: ”Por que estamos tomando o caminho de maior dificuldade?” A funcionalidade desse vídeo é que essa forma é muito útil em computação, onde você consegue resolver o mesmo sistema várias vezes. Talvez o lado esquerdo seja o mesmo, o lado direito mude. Isso pode ser algo que você verá enquanto escreve um jogo de computador, ou enquanto trabalha em algum tipo de problema de programação. Esse é um tema geral. Uma parte da importância das matrizes está nas formas de como podemos usá-las na representação de problemas, problemas matemáticos, formas de representar dados. Então podemos usar as operações de matrizes, equações matriciais, e manipulá-las da forma adequada. Em sua maior parte, escrevendo programas de computador ou coisas do tipo. Então fique atento. Você vai gostar do que eu vou fazer e um dia você vai ver que isso é realmente muito útil. A primeira coisa que precisamos ver, que você precisa observar, é que isso aqui pode ser representado por uma equação matricial. Então vamos formar aqui a nossa matriz. Ela vai ser formada pelos coeficientes da equação. Eu vou pegar exatamente os mesmos coeficientes e vou usar as mesmas cores. Eu vou ter 2, -5... Vamos pegar aqui o -5, -2, então aqui embaixo essa entrada é -2 e também 4, 4 positivo. Ela vai estar multiplicando o vetor coluna formado pelas variáveis da equação que são as variáveis "s" e "t". Então a gente vai multiplicar pelo vetor coluna formado pelas variáveis "s" e "t". Isso aqui vai ser igual ao outro vetor coluna, que é o resultado da equação. isso aqui vai ser igual ao vetor coluna 7 e -6. Isso é exatamente a mesma coisa que temos aqui. Eles estão representando as mesmas restrições sobre as variáveis "s" e "t". Você pode dizer: “Espere, não estou entendendo muito bem”. Se você não estiver entendendo bem, faça essa multiplicação aqui. Multiplique isso e veja se essas entradas aqui vão ter os valores que você precisa para chegar nesse resultado. Vamos, então, realizar essa multiplicação para verificar o que estou dizendo. Na primeira multiplicação, nós vamos multiplicar essa primeira linha por essa primeira coluna. Então vai ficar 2s menos 5t. Teremos, então, 2s menos 5t. Então ficaria 2s com -5t e vai ser igual a essa primeira entrada aqui, que vale 7. Então isso aqui é igual a 7. A nossa segunda multiplicação vai ser essa segunda linha com essa primeira coluna. Então teremos -2s, mais 4t é igual a nossa segunda entrada. A nossa segunda entrada é -6. Então -2s mais 4t é igual a -6. A gente percebe que isso está aqui. Olhe, está aqui em cima. Com isso, eu espero que você tenha percebido que isso aqui contém, exatamente, as mesmas informações que isso aqui, que o sistema inicial. Há outras maneiras também que eu poderia ter resolvido isso. Vamos usar nossa ferramenta de copiar e colar. Deixe-me copiar essa segunda equação aqui. Ela agora vai virar a primeira equação. Eu também poderia ter colocado essa primeira equação como sendo a segunda equação. Vamos copiar e colar essa equação como sendo a segunda. E o que nós teríamos aqui? Novamente a gente poderia escrever isso como uma equação matricial. A gente sabe que se fosse uma equação matricial, eu trocaria todas as linhas que mantêm os coeficientes e teria exatamente na mesma ordem as incógnitas. Então se eu quisesse montar aqui essa equação, você pode tentar fazer isso. Tente representar isso aqui como equação matricial. Nós teríamos aqui -2 e 4, aqui 2 e -5, continuaríamos com "s" e "t" e aqui nós teríamos -6 e 7. Ficaria assim nossa equação matricial, que representaria a mesma coisa que isso aqui. Mas, agora, o que a gente tem que fazer é definir como a gente vai resolver isso aqui. Por que vamos resolver isso? Vamos pensar sobre isso, pensar em termos, literalmente, de equação matricial. Então vou chamar essa matriz aqui de matriz A. Então essa aqui vai ser a minha matriz A. Esse aqui eu vou chamar de vetor coluna "x". Então esse aqui vai ser o meu vetor coluna "x". E esse último aqui será meu vetor coluna "b". Então esse aqui vai ser meu vetor coluna "b". O que nós sabemos sobre isso? Nós sabemos que a matriz A vezes o vetor coluna "x" é igual ao vetor coluna "b". Vamos escrever isso novamente para enfatizar. Eu vou colocar aqui: a matriz A vezes o vetor coluna "x" é exatamente igual ao vetor coluna "b". É essa situação que nós temos aqui. e é disso que estamos falando quando falamos em equação de matriz. Na verdade, antes mesmo de pensar em computação, computação gráfica e tudo isso, você vai ver várias coisas como esta aqui em física quando se fala em termos gerais ou quando, não necessariamente, devem ser especificadas as dimensões da matriz, ou dimensões do vetor. Falando em propriedade gerais (e digamos, física), na medida que você estuda níveis cada vez mais altos de ciências, você vai perceber que essas equações matriciais vetoriais aparecem várias vezes. Mais uma vez, vamos voltar a nossa questão central, que é como resolver isso aqui. Uma maneira da gente pensar sobre isso, e que nós já vimos, é que se uma matriz é invertível isso significa que existe uma matriz A cuja matriz inversa existe, nós podemos dizer que essa matriz inversa, essa matriz inversa de A multiplicada pela matriz A é igual à matriz identidade. A matriz inversa de A vezes a matriz de A é igual à identidade. E se multiplicarmos ambos os lados esquerdos dessa igualdade aqui, ambos os membros pela inversa de A? Lembre-se da questão da ordem quando estamos multiplicando matrizes. Então multiplicando pela esquerda ambos os lados dessa equação pela inversa, a gente vai ter que a inversa de A multiplicada por A (vezes A), vezes o vetor coluna "x" vai ser igual à inversa de A vezes o vetor coluna "b". Mas nós já vimos que isso aqui, supondo que essa matriz A é uma uma matriz invertível, que isso aqui é igual à identidade. Então aqui nós teremos a identidade vezes o vetor coluna "x" é igual à inversa de A vezes o vetor coluna "b", exatamente igual a isso aqui. E o que tem de interessante aqui? A matriz identidade vezes qualquer outra matriz, e esse vetor coluna nada mais é do que uma matriz com dimensões dois por um, vai ser igual a essa outra matriz. Então, simplificando isso aqui, nós vamos ter que isso aqui é igual ao vetor coluna "x". Isso aqui é igual ao vetor coluna "x" novamente e o vetor coluna "x" é igual a isso aqui, exatamente o que temos aqui. Copiando e colando, vamos ter que o vetor coluna é igual à matriz inversa vezes o vetor coluna "b". E mais uma vez enfatizando o porquê disso ser útil. Sim, você tem que passar pela dificuldade de calcular a inversa de A. Mas, uma vez feito isso, você poderia manter tudo e trocar apenas os valores para o vetor coluna "b". Aqui o nosso vetor coluna "b" é formado por 7 e -6, mas poderiam ser quaisquer outros valores aqui. E se você estiver executando um programa de computador e quiser fazer várias vezes isso, você só terá que fazer várias multiplicações de matrizes. Então vou deixar meu raciocínio até aqui. Nós já estamos quase nos aproximando de dez minutos de vídeo e eu não gostaria de ultrapassar esse tempo nesses vídeos. Então, no meu próximo vídeo, de fato, vou calcular a inversa de A e o vetor solução "x". Até lá!