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Representação de sistemas lineares com equações matriciais

Transcrição de vídeo

o que temos aqui é um sistema com duas equações e duas incógnitas a gente já viu algumas maneiras de resolver esse tipo de sistema tanto pelo método da substituição quanto pelo metas são hoje resolvemos o crescimento da adição aqui a gente sabe que basta somar o lado esquerdo e depois do lado direito do caso desse exemplo quando nós somamos lado esquerdo essa parte aqui se anula é que vai sobrar menos 5 t com mais quatro ter menos que esse - ter vai ser igual a 7 -6 isso aqui é igual a 1 mas cimeiros t é igual ontem ter vai ser igual a menos um e aí a gente já pode descobrir o valor de s vamos substituir nessa primeira equação aqui nós temos que duas vezes o s menos cinco vezes o ter menos cinco vezes - 1 - vezes menos mais cinco né vamos ter que mais cinco é igual a 7 daí fica fácil descobrir o valor de rs porque - no verso vai ter que chegou a 2 para cima com cinco das sete e se duas vezes sp chegou a 2 então o sr é igual a 1 fizemos uma conta então bastante simples e o que vamos fazer hoje é representar esse sistema e vamos representá los na equação matricial e resolvê lo usando uma crise em versos e já aviso que será mais trabalhoso vamos tomar mais tempo e você provavelmente vai dizer porque estamos tomando o caminho de maior dificuldade bem a funcionalidade desse vídeo é que essa forma é muito útil em computação onde você consegue resolver o mesmo sistema várias vezes talvez lado esquerdo seja o mesmo lado direito mude isso pode ser algo que você veja enquanto escreve um jogo de computador ou enquanto trabalha em algum tipo de problema de programação e esse é um tema geral uma parte da importância das matrizes está nas formas como podemos usá las na representação de problemas problemas matemáticos forma de representar dados e não podemos usar as operações de matrizes equações matriciais e manipulá las da forma adequada em sua maior parte inscrever no programa de computador ou coisas do tipo então fique atento você vai gostar do que eu vou fazer um dia você vai ver que ser realmente muito útil primeira coisa que precisamos ver que você precisa observar é que isso aqui pode ser representado por uma equação matricial então vamos formar aqui a nossa matriz e aí ela vai ser formada pelos coeficientes da equação eu vou pegar exatamente os mesmos coeficiente vou usar as mesmas cores eu vou ter 2005 então vamos pegar aqui o menos cinco ou menos dois shih aqui embaixo entrada - 2 e também 144 positivo ela vai está multiplicando o vetor coluna formada pelas variáveis da equação que são as variáveis s e então a gente vai multiplicar pelo vetor coluna formado pelas variáveis em si e tem isso aqui vai ser igual ao outro vetor coluna resultado da equação isso aki vai ser igual ao vendedor coluna 7 - 67 mm fez isso é exatamente a mesma coisa que temos aqui eles estão representando as mesmas restrições sobre as variáveis e st você pode dizer espera não entender muito bem se você não estiver entendendo bem faça essa multiplicação aqui multiplique isso aqui e veja se essas entradas aqui ou dos valores que você precisa para chegar nesse resultado como então realização multiplicação para verificar quanto dizendo na primeira multiplicação nós vamos multiplicar essa primeira linha com essa primeira coluna então vai ficar duas vezes s menos cinco vezes ter teremos então duas vezes o s duas vezes s menos cinco vezes teta menos cinco ténéré então ficaria menos duas vezes s com menos cinco vezes te e vai ser igual a essa primeira entrada aqui que vale 7 então isso aqui é igual a sede a nossa segunda multiplicação vai ser essa segunda linha com essa primeira coluna então teremos menos duas vezes e s - duas vezes o é se vamos colocar aqui menos duas vezes s e quatro vezes tentam mais né mais quatro vezes o ter mais quatro vezes te é igual a nossa segunda entrada a nossa segunda entrada é menos existam menos duas vezes desce mais quatro vezes te é igual a menos seis ea gente percebe que isso aqui está aqui olha tá aqui em cima e com isso eu espero que você tenha percebido que isso aqui conta exatamente as mesmas informações que isso aqui que o sistema inicial há outras maneiras também que poderia ter resolvido isso aqui vamos usar essa ferramenta de copiar e colar aqui chocopp a essa segunda a equação aqui ela agora vai virar a primeira equação eu também poderia ter colocado essa primeira equação como sendo a segunda equação vamos copiar aqui colar essa equação como sendo a segunda e aí o que nós teríamos aqui bom novamente a gente poderia escrever isso aqui como sendo uma equação uma parcial a gente sabe que se fosse uma equação manter se ao eu trocaria todas as linhas que mantém os coeficientes seria exatamente na mesma ordem aqui as incógnitas então se eu quisesse montar que esse equação você pode tentar fazer isso tenta representar isso aqui como equação matricial nós teríamos aqui - 24 aqui dois e menos cinco continuaríamos com st e aqui nós teríamos menos 6 e 7 ficaria assim nossa equação matricial que representaria a mesma coisa que isso aqui mas agora o que a gente tem que fazer é definir como a gente vai resolver isso aqui porque a gente vai resolver isso vamos mesmo pensar sobre isso pensar em termos literalmente de equação matricial então chama essa matriz aqui de matrizes a então essa aqui vai ser a minha matrizaria é esse aqui eu vou chamar de vetor coluna x então esse aqui vai ser o meu vetor coluna xixi e esse último que vai ser o meu vetor coluna b então esse aqui vai ser um vetor coluna b o que nós sabemos sobre isso nós sabemos que a matriz a vezes o vetor como lanches é igual ao vetor coluna b vamos escrever isso novamente para enfatizar eu vou colocar aqui ó a matriz a vezes o vetor colunas x vezes o vetor coluna x é exatamente igual ao vetor coluna b é essa situação que nós temos aqui e disse que estamos falando quando falamos em equação de matriz na verdade antes mesmo de pensar em computação computação gráfica e tudo isso você vai ver várias coisas como esta que em física quando se fala em termos gerais ou quando não necessariamente deve ser especificado as dimensões da matriz ou dimensões vetor falando em propriedade gerais e digamos física na medida que você estuda níveis cada vez mais altos de ciências você vai perceber que essas equações matriciais vetoriais aparecem várias vezes ou mais uma vez vamos voltar a nossa questão central que é como resolver isso aqui uma maneira da gente pensar sobre isso e que nós já vimos é que se uma bateria inverti viu isso significa que existe uma matriz a cuja matriz é inversa existe nós podemos dizer que essa matriz inversa essa matriz inversa de ar multiplicada pela atualizar é igual à matriz identidade uma diversa de aves a matriz de área igual a identidade se multiplicarmos ambos os lados esquinas dessa igualdade que ambos os membros pela inversa de ar lembre se a questão da ordem quando estamos multiplicando matrizes estão multiplicando pela esquerda ambos os lados dessa equação pela inversa gente vai ter a inversa de aaa a inversa de ar * a vezes a vezes o vetor coluna chen o vetor coluna x vai ser igual a inversa de aaa a inversa de a vezes o vetor coluna b mas nós já vimos que isso aqui supondo que essa materializar uma marca divertido que isso aqui é igual a identidade então aqui nós teremos que a identidade vezes o vetor coluna x vezes o vetor coluna x é igual ao inversa de a vezes o vetor coluna b exatamente com isso aqui o que tem de interessante aqui bem a matriz identidade esses qualquer outra matriz que esse vetor coluna nada mais é do que eu a matriz com dimensões dos grupos mais igual a essa outra matriz então simplificando isso aqui nós vamos ter que isso aqui é igual o vetor coluna x é que é igual victor cuno x novamente e o vetor coluna x é igual a isso aqui é exatamente o que temos aqui coppini colando vamos ter que o vetor coluna é igual à matriz e versa vez o vetor coluna b e mais uma vez enfatizando porque isso aqui é útil sim você tem que passar pela dificuldade de calcular e versa de armas uma vez feito isso você poderia manter tudo e trocar apenas os valores para o setor como b aqui o nosso vetor coluna b é formado por sete mísseis mas poderiam ser quaisquer outros valores aqui e se você estiver executando um programa de computador e quiser fazer várias vezes você só terá que fazer várias multiplicações de matrizes bom então vou deixar o raciocínio até aqui nós já estamos quase nos aproximando de dez minutos de vídeo e eu não gostaria de ter a passar esse tempo nesses gente então no próximo vídeo de fato o calcular a inversa de ar e o vetor solução x até lá