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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 20
Lição 16: Resolução de equações com matrizes inversasResolução de sistemas lineares com matrizes
Neste vídeo, resolvemos essa equação matricial usando a inversa da matriz de coeficientes. Versão original criada por Sal Khan.
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- Como fazer a resolução por escalonamento?(4 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - No último vídeo, nós vimos
que a gente pode ter duas equações. Essas duas equações estão
com duas incógnitas e a gente consegue representar essa situação
por meio de uma equação matricial onde a matriz “A” vai ter os coeficientes
do lado esquerdo das equações. O vetor coluna “x” é justamente
as incógnitas que eu quero descobrir e o vetor coluna “b”
vai ser o resultado que está aqui do lado direito
de ambas as equações. O interessante disso é que a gente
pode ter, assim, a seguinte equação: a matriz “A” vezes o vetor coluna “x”
é igual ao vetor coluna “b”. Nós vimos que se a matriz “A”
for uma matriz invertível, a gente pode multiplicar ambos os lados
dessa equação pelo inverso de “A”. Multiplicamos os lados
esquerdos da equação, (isso é importante você perceber, porque na
multiplicação de matrizes a ordem importa), chegamos, assim, no resultado que
dá o valor do vetor desconhecido x. Nós sabemos que o vetor coluna x
é o resultado das incógnitas [s, t]. Quando a gente resolve e acha o valor dele,
nós resolvemos esse sistema de equações aqui. Agora nós vamos, de fato,
resolver isso aqui. Vamos calcular a matriz inversa de “A”,
multiplicá-la pelo vetor coluna “b” e dessa maneira achar o vetor coluna “x”,
que nada mais é do que as variáveis [s, t] e, obviamente,
resolver esse sistema. Então, vamos lá.
Para calcular a inversa de “A”, eu tenho que primeiro calcular
um sobre o determinante de “A”. O determinante de “A”
nada mais é do que o produto, primeiro,
dessa diagonal, 2 vezes 4, 8, menos o produto dessa diagonal
aqui, -5 vezes -2 dá +10, 8 com menos +10, -2. Então o resultado aqui vai dar -2.
Vamos só conferir: 2 vezes 4, 8, -5 vezes -2, menos
vezes menos é mais, 10, 8 menos 10, -2.
Está certo. Continuando, então,
no cálculo da inversa, é um sobre determinante de “A”
vezes a adjunta de “A”. Na matriz adjunta de “A”,
aqui eu inverto essa diagonal, então aqui vai ficar 4,
aqui nessa primeira entrada, e ali embaixo vai ficar 2.
E nessa aqui basta eu inverter os sinais. Aqui vai ser menos
essas duas entradas aqui. Então onde está -5 vai ficar +5
e onde está -2 vai ficar +2. Se tudo isso parecer um pouco estranho, você
pode rever o tutorial sobre matrizes inversas porque ele fala sobre tudo isso
que eu estou fazendo aqui. Vamos agora calcular,
então, a inversa. Para achar a inversa a gente tem que fazer
essa multiplicação aqui. Então, vamos lá. -½ vezes 4 vai ser -2,
-½ vezes 5 vai ser -2,5, e -½ vezes 2 é -1,
aqui também -½ vezes 2 vai ser -1. Essa aqui, então,
é a matriz inversa de “A”. Vamos repeti-la aqui embaixo porque,
agora, o que nós temos que fazer é multiplicá-la pelo
vetor coluna “b”, não é? Então [-2, -2,5, -1, -1]. Agora nós temos que pegar essa matriz
e multiplicá-la pelo vetor coluna “b”. Vou fazer tudo aqui de branco
para ficar mais prático, para facilitar. A gente já tem bastante experiência
em multiplicar matrizes, não é? Então aqui vai ficar 7,
aqui vai ficar -6. Essa multiplicação vai ser igual ao quê?
Vamos lá, então. Primeiro vamos multiplicar
com essas duas somas. A primeira aqui vai ficar
-2 vezes 7 dá -14, -2,5 vezes -6, menos
vezes menos vai ser positivo, 2,5 vezes 6,
2,5 e 2,5 é 5, 5, 5, 5, 15.
+15. -1 vezes 7, menos vezes mais
vai dar menos, 1 vezes 7, 7, e -1 vezes -6, menos vezes menos
é mais, 6 vezes 1, 6. Agora vamos resolver essa soma aqui.
Bom, então o vetor coluna x, que é a multiplicação da inversa de “A”
vezes a matriz coluna “b” é igual a... Nesse momento a gente merece
até que rufem os tambores, não é? -14 mais 15 vai ser 1
e -7 com 6 vai ser -1. Esse é o nosso
vetor coluna “x”. Nós acabamos de mostrar, então, que isso
aqui é igual ao vetor coluna [1, -1], ou que esse vetor coluna x
é igual a [1, -1], ou ainda podemos dizer
que o vetor com essas entradas aqui, o vetor com as entradas [s, t], é exatamente igual ao vetor coluna que
a gente descobriu aqui quanto é que vale, que é igual
ao vetor [1, -1]. O que quer dizer que “s”
é igual a 1 e “t” é igual -1. Eu sei que você deve estar dizendo.
Eu já disse isso no último vídeo, mas vou dizer aqui novamente,
porque você pode dizer: "Ah, mas é muito mais fácil resolver
esse sistema aqui de forma direta, usando o método da adição
e eliminando uma das incógnitas, ou pelo método da substituição",
e eu até concordo com você, mas é uma técnica muito útil, porque quando
você lida com problemas computacionais, existem situações em que você tem um lado
esquerdo fixo, sempre sendo o mesmo, e esse lado direito aqui variando.
Valores diferentes eu posso colocar aqui. Então, para esses casos, é mais fácil
você calcular logo a inversa da matriz e depois só fazer a multiplicação pelos
valores que vão entrar aqui, diferentes, mudando apenas o lado direito
e essa matriz coluna aqui. Você provavelmente está
familiarizado com alguns tipos. Você tem processadores gráficos
e placas gráficas em computadores e eles falam sobre como
coprocessadores especiais gráficos. Esses são realmente especiais
porque possuem um rádio especial para a multiplicação de matrizes
e é muito, muito, muito mais rápido porque quando está fazendo
um processamento gráfico, você está pensando em
modelagem em três dimensões, isso está fazendo
todas as transformações. Você, na realidade, está fazendo
várias multiplicações de matrizes muito, muito rápido
e em tempo real, de modo que o usuário que vai jogar o jogo,
ou o que quer que esteja fazendo, é como se ele tivesse em algum tipo
de reality 3D em tempo real. Enfim, eu só
quero mostrar isso. Claro que se eu visse esse
sistema aleatoriamente, institivamente eu também o resolveria pelo método tradicional
da eliminação por adição ou pela substituição, mas essa habilidade de pensar nessa
situação como uma equação matricial é um conceito muito, muito útil
que não será usada apenas em computação, mas também quando você estudar ciências em
um nível mais superior, especialmente em física. Você vai ver um monte de equações
matriciais e vetoriais como essa. Em termos gerais, é
realmente importante pensar no que eles podem representar
e em como eles podem ser resolvidos. Por hoje é isso, galera.
Até breve em mais um vídeo!