como que eu faço para identificar uma matriz que devo aplicar a regra de sarrus

Regra ou esquema de Sarrus é uma técnica de memorização para obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, só pode ser usado com esse tipo de matriz.

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Dimensões na multiplicação de matrizes

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Aprenda sobre as condições para a multiplicação de matrizes ser definida e sobre as dimensões do produto de duas matrizes.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma matriz é um conjunto retangular de números organizados em linhas e colunas. Cada número em uma matriz é chamado de elemento da matriz ou simplesmente elemento.

As dimensões de uma matriz determinam, respectivamente, o número de linhas e colunas. Como a matriz

A

tem

2

linhas e

3

colunas, é chamada de matriz

2 \times 3

Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às matrizes.

Na multiplicação de matrizes, cada elemento na matriz produto é o produto escalar entre uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda matriz.

Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre multiplicação de matrizes.

O que você vai aprender nessa lição

Nós investigaremos a relação entre as dimensões de duas matrizes e as dimensões do seu produto. Especificamente, vamos ver que as dimensões das matrizes devem atender a uma determinada condição para a multiplicação ser definida.

Quando a multiplicação de matrizes é definida?

Para que a multiplicação de matrizes seja definida, o número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda matriz.

Para entender o porquê, considere as duas matrizes a seguir:

$A = [\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 5 \end{array}]$ ‍ e $B = [\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & 1 \end{array}]$ ‍

Para calcular

A B

, fazemos o produto escalar entre uma linha em

A

e uma coluna em

B

. Isso significa que o número de elementos em cada linha de $A$ ‍ deve ser igual ao número de elementos em cada coluna de $B$ ‍.

$A = [\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 5 \end{array}]$ ‍ e $B = [\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & 1 \end{array}]$ ‍

Observe que se uma matriz tem dois elementos em cada linha, então ela tem duas colunas. Da mesma forma, se uma matriz tem dois elementos em cada coluna, então ela deve ter duas linhas.

Logo, segue-se que para a multiplicação de matrizes ser definida, o número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda matriz.

Teste seu conhecimento

A = [\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 8 & 5 \end{array}]

$A B$ ‍ é definida?

C = [\begin{array}{rrrr} 5 & 3 & 6 & 1 \\ 6 & 8 & 5 & 3 \end{array}]

D = [\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 8 \\ 7 & 5 & 5 \end{array}]

$C D$ ‍ é definida?

A

é uma matriz

4 \times 2

B

é uma matriz

2 \times 3

$A B$ ‍ é definida?

$B A$ ‍ é definida?

Certifique-se de observar a ordem das matrizes no produto.

Para determinar se

A B

é definida, devemos analisar o número de colunas na matriz

A

e o número de linhas na matriz

B

$A$ ‍ é uma matriz $4 \times 2$ ‍. Ela tem $2$ ‍ colunas.
$B$ ‍ é uma matriz $2 \times 3$ ‍. Ela tem $2$ ‍ linhas.

Como o número de colunas na matriz

A

é igual ao número de linhas na matriz

B

A B

é definida.

Para determinar se

B A

é definida, devemos analisar o número de colunas na matriz

B

e o número de linhas na matriz

A

$B$ ‍ é uma matriz $2 \times 3$ ‍. Ela tem $3$ ‍ colunas.
$A$ ‍ é uma matriz $4 \times 2$ ‍. Ela tem $4$ ‍ linhas.

Como o número de colunas da matriz

B

não é igual ao número de linhas da matriz

A

B A

não é definida.

Propriedade das dimensões

O produto de uma matriz

m \times n

e uma matriz

n \times k

é uma matriz

m \times k

Vamos considerar o produto

A B

, em que

A = [\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 2 & 5 \end{array}]

B = [\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & 1 \end{array}]

Já sabemos que

A B

é definida, pois o número de colunas em

A_{3 \times 2}

(2)

corresponde ao número de linhas em

B_{2 \times 4}

(2)

Para calcular

A B

, devemos encontrar o produto escalar entre cada linha de

A

e cada coluna de

B

. Assim, a matriz resultante terá o mesmo número de linhas que a matriz

A_{3 \times 2}

(3)

e o mesmo número de colunas que a matriz

B_{2 \times 4}

(4)

. Será uma matriz

3 \times 4

Teste seu conhecimento

A = [\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 8 & 5 \end{array}]

Quais são as dimensões de $A B$ ‍?

\times

C = [\begin{array}{rr} 4 & 3 & 1 \\ 6 & 7 & 2 \end{array}]

D = [\begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}]

Quais são as dimensões de $C D$ ‍?

\times

A

é uma matriz

2 \times 3

B

é uma matriz

3 \times 4

Quais são as dimensões de $A B$ ‍?

\times

X

é uma matriz

2 \times 1

Y

é uma matriz

1 \times 2

Quais são as dimensões da matriz $X Y$ ‍?

\times

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marlontraine
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como que eu faço para identificar uma matriz que devo aplicar a regra de sarrus
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- Tiago Silva
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Curso: Pré-cálculo > Unidade 7

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