Problema de inequação do segundo grau

RKA - Lisa tem uma máquina de vender doces que escolhe um doce sortido de forma aleatória. Ela controla a probabilidade com a qual cada doce é escolhido. Os coelhos de chocolate estão acabando, então a Lisa quer programar a máquina para que a probabilidade de escolher um doce diferente duas vezes seguidas seja maior que "2¼" vezes a probabilidade de escolher o coelho de chocolate em uma tentativa. Vou reler. Ela quer programar a máquina para que a probabilidade de escolher um doce diferente, duas vezes diferentes, ou qualquer outro doce, duas vezes seguidas seja maior que "2¼" vezes a probabilidade de escolher o coelho de chocolate em uma tentativa. Escreva uma inequação que represente a situação. Use "p" para representar a probabilidade de escolher o chocolate em uma tentativa. Resolva a inequação e complete a sentença. Lembre-se que a probabilidade deve ser um número entre zero e 1. Então, devemos escrever a inequação que representa o problema aqui; depois, devemos completar a sentença. A probabilidade de tirar o chocolate em uma tentativa deve ser... e dão várias opções: maior que; maior ou igual a; menor que; menor ou igual a; e tem que digitar um número aqui. Para facilitar, colei o problema na minha lousa. Vamos pensar. Eles nos dizem para usar "p" para representar a probabilidade de tirar o chocolate em uma tentativa. Também dizem que ela quer programar a máquina para que a probabilidade de sair um doce diferente duas vezes seguidas seja maior que "2¼" vezes a probabilidade de tirar o chocolate em uma tentativa. Se "p" é a probabilidade de tirar o chocolate, qual é a probabilidade de tirar qualquer outro doce de primeira? Bom, vai ser "1 - p". Se "p" é a probabilidade de tirar o chocolate, "1 - p" é a de tirar qualquer outro doce. Qual é a probabilidade de tirar qualquer doce diferente de chocolate duas vezes seguidas? Basta multiplicar essa probabilidade por ela mesma. Vai ser "(1 - p )‧(1 - p)", ou dá para escrever isso como "(1 - p)²". Então, isso aqui é a probabilidade de tirar um doce diferente, qualquer doce, duas vezes seguidas. A probabilidade de tirar qualquer outro doce que não seja o chocolate, qualquer outro, duas vezes seguidas. Eles nos dizem que esta probabilidade deve ser maior que "2¼" vezes a probabilidade de tirar o chocolate em uma tentativa, Então, é maior que "2¼" vezes a probabilidade de tirar o chocolate em uma tentativa (que é "p")... vezes "p". Nós preparamos a primeira parte, escrevemos uma inequação que representa a situação. Agora, vamos solucionar a inequação. Para isso, eu vou decompor "(1 - p)²". "(1 - p)²" é o mesmo que... bom, vou multiplicar. Isto vai ser "1² - 2p + p²"; e isso vai ser maior que "(2¼)‧(p)" Agora, vejamos. Se subtrair "(2¼)‧(p)" dos dois lados, vamos ficar com... (vou reordenar)... vamos ficar com "p²"... tem "-2p - (2¼)‧(p)", então vamos ficar com "-(4¼)‧(p)"... vou escrever como "(17/4)‧(p)"... mais 1 é maior que zero. Então, vamos tentar solucionar esta equação de segundo grau. Em quais circunstâncias é maior que zero? Para descobrir, vamos fatorá-la. Antes disso, vamos simplificá-la um pouco. Eu não gosto desse 17/4, então vou multiplicar os dois lados por 4. Como 4 é um número positivo, não vai mudar o sinal, a direção, da inequação. Dá para reescrever como "4p² - 17p + 4" é maior que zero. Quais são as raízes disso? E a gente pode usar a fórmula de Bhaskara para calcular. Tem outras formas também. Então, vai ser 17 mais ou menos a raiz quadrada de "(-17)²"... isso dá 289... menos 4 vezes "a" vezes "c". Bom, "a" vezes "c" é 16... vezes 4, que dá 64. Então, é "289 - 64", tudo isso sobre 2 vezes "a". Tudo isso sobre 8, então isso dá 17... mais ou menos... vejamos... isso é a raiz quadrada de 225 sobre 8, que é igual a "(17 ± 15)/8", que é igual a... "(17 - 15)/8" dá 2/8, que é igual a 2/8 ou 1/4. Essa é uma delas quando subtraímos. E, se somamos "17 + 15", ficamos com 32 dividido por 8, que é 4. Ou 4. Então, tem duas situações aqui; vamos fatorar. Podemos escrever como "(p - 1/4)‧(p - 4)" é maior que zero. Em quais circunstâncias isso vai ser verdadeiro? Quais são as restrições para isto ser verdade? Se estamos calculando o produto de dois termos, e eles serão maiores que zero, significa que essas duas coisas têm que ter o mesmo sinal. Nesse caso, as duas têm que ser positivas ou as duas têm que ser negativas. Vamos ver as duas situações. (Vou mudar de cor). As duas positivas ou as duas negativas. Se as duas foram positivas... (vou fazer aqui)... então, "p - 1/4" tem que ser maior que zero, e "p - 4" é maior que zero. Somando 1/4 dos dois lados, a gente fica com "p" é maior que 1/4. E "p" é maior que 4. Esta é a situação em que as duas são positivas. E se as duas foram negativas? Teremos "p - 1/4" é menor que zero, e "p - 4" é menor que zero. Somo 1/4 aqui, então "p" precisa ser menor que 1/4 . E "p" precisa ser menor que 4. Como dá para simplificar essa restrição? "p" tem que ser maior que 1/4 e maior que 4. Se "p" é maior que 4, claro que vai ser maior que 1/4; então, tudo isso vira "p" precisa ser maior que 4. Nessa situação, as duas são positivas, "p" precisa ser maior que 4. E aqui? Se "p" é menor que 1/4, certamente vai ser menor que 4. Isso aqui é um "e", então isso vira "p" é menor que 1/4. Qual escolhemos? "p" precisa ser maior que 4 ou "p" precisa ser menor que 1/4? Devemos lembrar que estamos falando de uma probabilidade. A gente quer saber a probabilidade de alguém tirar o chocolate em uma tentativa, e ela deve estar entre zero e 1. Então, a probabilidade "ter que ser maior que 4" não faz nenhum sentido; não faz sentido no contexto dessa questão. Então, tem que escolher que a probabilidade de tirar o chocolate deve ser menor que 1/4 ou menor que "0,25", o que faz total sentido. Vamos preencher a informação. Esta é a inequação que representa o problema. E "p" tem que ser menor que 1/4, então vamos voltar ao problema original. A inequação era "(1 - p)²" precisa ser maior que "2¼"... posso escrever como "2,25"... vezes "p". E a probabilidade de tirar o chocolate em uma tentativa precisa ser "menor que 0,25". E terminamos!