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Revisão de polinômios

Revise rapidamente o que são polinômios, os termos comuns relacionados (por ex., grau, coeficiente, binômio etc.), soma e subtração de polinômios e modelagem de área com polinômios. Criado por Sal Khan e Fundação CK-12.

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Transcrição de vídeo

RKA - Neste vídeo eu quero introduzir a ideia de polinômios. Pode parecer uma palavra chique, polinômio. Mas, na verdade, é uma expressão que contém muitos termos variáveis ou constantes, que são levados a expoentes diferentes de zero. Então, pode parecer complicado. Deixa eu dar um exemplo. Se eu te der "x" ao quadrado + 1, é um polinômio. Na verdade, isso é um binômio, porque existem só dois termos. O termo polinômio é mais genérico, é essencialmente dizer que você possui alguns termos. "Poli" quer dizer alguns. Este é um binômio. Se eu disser "4x" ao cubo menos "2x" ao quadrado, mais 7, isso é um trinômio. Tenho três termos aqui. Deixar eu dar apenas mais um sentido concreto do que é e do que não é um polinômio. Por exemplo, se eu tivesse "x" elevado a menos meio mais 1, não é um polinômio. Não é um polinômio. Isso não significa que você nunca verá isso quando estiver trabalhando álgebra ou matemática. Mas não chamaríamos isso de polinômio porque possui um expoente negativo e fracionário. Ou se te desse a expressão "y" vezes a raiz quadrada de "y" menos "y" ao quadrado. Mais uma vez, não é um polinômio, porque possui uma raiz quadrada, o que é essencialmente elevar algo a meio. Então, todos os expoentes terão que ser negativos. Mais uma vez, nenhum desses são polinômios. Quando estamos lidando com polinômios, teremos algumas terminologias. E você pode já estar ou não familiarizado com isso, então eu vou mostrar agora. A primeira terminologia é o grau de um polinômio. É o grau de um polinômio. Essencialmente, é o maior expoente que temos no polinômio. Por exemplo, aquele polinômio ali é um polinômio de terceiro grau. Oque é isso? Bom, polinômio não precisa continuar escrevendo. Polinômio. Por que esse é um polinômio de terceiro grau? Porque o maior expoente que temos ali é o "x" elevado à 3ª. Então, é onde identificamos que é um polinômio de terceiro grau. Esse aqui é um polinômio de segundo grau. Segundo grau. E esse é o termo de segundo grau. Algumas outras terminologias ou palavras que precisamos saber, independente dos polinômios, são os termos independentes das variáveis. E acho que você já sabe. Esses aqui são termos variáveis. Esse é um termo independente. Aquele ali é um termo independente. Então, a última parte do polinômio de forma adequada é entender os coeficientes de um polinômio. Vou escrever um polinômio de quinto grau aqui. Vou escrever de uma forma talvez não convencional. Não vou fazer isso em ordem, então vamos apenas dizer que é um "x" ao quadrado menos "5x" mais "7x" à quinta, menos 5. Mais uma vez, este é um polinômio de quinto grau. Por quê? Porque o expoente mais alto em uma variável aqui é 5. Isso nos diz que é um polinômio ao quinto grau. Você pode dizer, por que nós nos importamos com isso? E, pelo menos na minha cabeça, a razão pela qual me importo com o grau de um polinômio é porque quando o número fica maior, o maior termo de grau é o que realmente domina todos os outros termos, vai aumentar mais rápido ou se tornar negativo mais rápido, dependendo se tem um sinal positivo ou negativo na frente. Mas, geralmente, vai dominar todo o resto, realmente te dá um senso para o quão rápido a expressão inteira cresceria ou decresceria no caso de ter um coeficiente negativo. Acabei de usar a palavra coeficiente. O que isso significa? Coeficiente. E já a usei antes, quando a gente estava apenas falando de equações lineares. Coeficientes são apenas termos que estão multiplicando os termos variáveis. Por exemplo: o coeficiente nesse termo aqui é o -5. Você tem que lembrar que temos um -5, então consideramos -5 para ser o coeficiente inteiro. O coeficiente nesse termo é o 7. Não há coeficiente aqui, é somente um termo independente de "x" menos 5. Aí o coeficiente no termo "x" ao quadrado é 1. O coeficiente é 1, está implícito. Você está assumindo que é 1 vez "x" ao quadrado. A última coisa que quero introduzir a você é a ideia de uma forma padrão de um polinômio. Forma padrão de um polinômio. Nenhum um desses vai te ajudar a resolver exercícios com polinômio ainda, mas quando falamos sobre resolver exercícios com polinômios, posso usar algumas dessas terminologias ou seu professor pode usar alguma dessas terminologias. Então, é bom saber do que estamos falando. A forma padrão de um polinômio, basicamente, lista os termos em ordem decrescente de grau. Então, essa é uma forma não padrão. Se eu fosse listar os polinômios nome na forma padrão, colocaria esse termo primeiro. Escreveria 7x⁵. Qual o próximo grau mais baixo? Bom. Tem esse termo, x², não tem um "x" à quarta, um "x" à terceira. Então será +1. Tenho que escrever 1. Mais x². Então tenho esse termo, menos "x". Aí tenho esse último termo aqui, menos 5. Essa é a forma padrão do polinômio, onde você tem uma ordem decrescente de grau. Agora, vamos fazer algumas operações com esses polinômios. Isso vai ser um super kit de ferramentas útil mais tarde na sua carreira algébrica ou até em matemática. Vamos só simplificar alguns dos polinômios. E, nós já vimos isso em vídeos anteriores, mas acho que vai te dar um melhor senso, especialmente quando temos esses graus altos. Vamos dizer que eu queira somar menos "2x" ao quadrado mais "4x" menos 12. E vou somar isso ao "7x" mais "x" ao quadrado. A coisa mais importante para lembrar quando simplificamos esses polinômios é que você somará os termos da mesma variável e com o mesmo grau. Vou fazer outro exemplo em um segundo, onde tenho que multiplicar variáveis se envolvendo essa situação. De qualquer forma, eu tenho esses parênteses aqui, mas eles realmente não estão fazendo nada. Se eu tivesse um sinal de subtração, teria que distribuir a subtração, mas eu não tenho, então posso simplesmente escrever isso como menos "2x" ao quadrado mais "4x" menos 12 mais "7x" mais "x" ao quadrado. Agora vamos simplificar. Vamos somar os termos de mesmo grau. E quando digo mesmo grau, também tem a ver com a mesma variável. São os termos semelhantes. Mas nesse exemplo, só temos a variável "x". Então, vamos somar. Vamos ver tenho esse termo "x" ao quadrado e tenho esse termo "x" ao quadrado. Então posso somá-los.Tenho -2x². Eu vou escrevê-los juntos. Menos "2x" ao quadrado mais "x" ao quadrado. Deixa eu pegar os termos de "x". Então temos "4x" e "7x". Isso é mais "4x" mais "7x". E finalmente, só tenho esse termo independente aqui, menos 12. Se eu tiver menos 2 de alguma coisa e adiciono 1 da mesma coisa a isso, eu tenho o quê? -2 mais 1 é -1 "x" ao quadrado. Poderia só escrever -x², mas quero te mostrar que estou só adicionando -2 a 1 dali. Tenho "4x" mais "7x", que dá "11x", e então finalmente tenho meus termos independentes menos 12. Acabo com três termos. Polinômio de segundo grau. O coeficiente liderando aqui, o coeficiente no termo de grau mais alto na forma padrão, já está na forma padrão, é -1. O coeficiente aqui é 11. O termo independente é 12 negativo. Vamos fazer outros desses exemplos. Acho que você está tendo uma ideia geral. Deixa eu fazer um exemplo um pouco mais complicado. Digamos que eu tenha "2a" ao quadrado "b" menos 3 "ab" ao quadrado mais "5a" ao quadrado "b" ao quadrado menos "2a" ao quadrado "b" ao quadrado mais "4a" ao quadrado "b" menos "5b" ao quadrado. Então, aqui eu tenho um sinal de menos, tenho variáveis múltiplas, mas vamos entrar nisso passo a passo. A primeira coisa a fazer é distribuir esse sinal de menos. Essa primeira parte podemos escrever como 2a²b menos 3ab² mais 5a²b². Então, queremos distribuir esse sinal de menos ou multiplicar todos esses termos por 1, porque nós temos menos aqui. Então, menos 2a²b² menos 4ab. E um negativo vezes um negativo é mais 5b². Agora, queremos basicamente somar esses termos. Tenho o termo 2a²b. Tenho alguns outros termos que tenham a²b? Preciso ser bem cuidadoso aqui. É um ab²? Não. a²b². Aqui tenho um a²b, "a" ao quadrado "b", a²b, então deixa eu escrever esses dois. Tenho 2a²b menos 4a²b. São os dois termos aqui. Deixa eu pegar o laranja. Aqui eu tenho um termo ab². Agora, eu tenho algum outro termo ab² aqui? Não. Sem outro ab², então vou só escrever. Menos 3ab². Agora, vamos ver. Eu tenho um termo a²b² aqui. Tenho outros? Com certeza, o próximo termo é um termo a²b². Então deixa eu escrever isso. Mais 5a²b² menos 2a²b², certo? Só escrevi esses dois. Finalmente, tenho este último termo b² aqui mais 5b² . Agora eu posso somá-los. Esse primeiro grupo, dessa cor roxa, 2 de alguma coisa menos 4 de alguma coisa vai ser menos 2 da mesma coisa. Então, vai ser 1 menos 2a²b. Esse termo aqui não vai se somar a nada. 3ab². Então, podemos tomar esses dois termos. Se eu tiver 5 de alguma coisa menos 2 de alguma coisa, eu teria que ter 3 daquela coisa. Mais 3a²b². Então, finalmente, tenho um último termo. Mais 5b². E terminamos. Simplificamos esse polinômio. Colocando isso numa forma padrão, você pode pensar nisso de formas diferentes. A maneira como eu gostaria de pensar nisso é talvez o grau associado do termo, talvez possamos colocar isso primeiro, mas vai de acordo com a maneira como quiser. Então esse é um 3a²b², e se quiser, pode colocar um termo a²b, ou "b" ou ab², 2a²b. Então, você tem -3ab². E temos só o termo b² aqui, mais 5b² e terminamos. Simplificamos esse polinômio. Agora, o que eu quero fazer são alguns exemplos de construção de polinômio. E a ideia é dar para você uma apreciação do porquê polinômios são úteis, representações abstratas. A gente vai usar isso todo o tempo, não só em álgebra, mas mais tarde em cálculo. Basicamente em tudo. Eles são muito bons para você se familiarizar com eles. Mas o que quero fazer nesses quatro exemplos é representar a área de cada uma dessas figuras com um polinômio e vou tentar combinar as cores o máximo que conseguir. Então aqui, qual é a área? Essa parte azul, a área ali é "x" vezes "y" e então, qual é a área? Vai ser "x" vezes "z". Mais "x" vezes "z". Mas temos dois deles, nós temos um "x" vezes "z", temos outro "x" vezes "z". Eu poderia somar 1 "x" vezes "z" aqui, ou poderia só escrever, dizer, mais 2 vezes "x" vezes "z". E aqui nós temos o polinômio que representa a área dessa figura. Vamos fazer o próximo. Qual é a área aqui? Eu tenho um "a" vezes "b". "ab". Isso parece "1a" vezes "1b" de novo, mais "ab". Parece um "ab" de novo, mais "a" mais "ab". Na verdade, acho que eles desenharam um pouco esquisito isso. Eu vou ignorar esse "c" aqui, tá bom? Talvez eles estejam nos falando que isso é "c". Porque é a informação que nós precisaríamos. Talvez estejam nos falando que essa base aqui, esse aqui é "c". Porque nos ajudaria. Mas se a gente assumir que esse é um outro "ab", o que eu vou assumir para o propósito desse vídeo, então temos esse último "ab". Então temos esse "a" vezes "c". Esta é a área para descobrir. E, obviamente, podemos somar esses quatro termos. Isso é "4ab". Temos mais "ac". Fiz a suposição de que isso foi um erro de digitação, que na verdade, naquele "c" estavam dizendo a largura desse pequeno quadrado aqui. Não sabemos se é um quadrado, é só se "a" e "c" são os mesmos. Agora, vamos fazer: como descobriremos a área dessa área rosa? A gente poderia pegar a área do retângulo inteiro, o qual seria "2xy", e então poderíamos subtrair a área desses dois quadrados. Cada quadrado tem uma área de "x" vezes "x", ou "x" ao quadrado. E temos dois desses quadrados, então é menos "2x²". Finalmente, vamos fazer esse aqui. Parece uma linha dividida. Então a área deste ponto, desta área, é "a" vezes "b", então é "ab". A área aqui parece que também será "ab", então mais "ab". E a área aqui também é "ab". Então, a área aqui é "3ab". De qualquer forma, espero que tenhamos feito um aquecimento com os polinômios.