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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10
Lição 27: Métodos avançados de fatoração de polinômiosFatoração de polinômios de graus mais elevados
Neste vídeo, fatoramos p(x)=2x^5+x^4-2x-1 como (2x+1)(x^4-1) por meio do agrupamento. Então, fatoramos (x^4-1) como (x^2+1)(x+1)(x-1) por meio do produto notável da diferença de quadrados. Versão original criada por Sal Khan.
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- no tempoo professor faz uma simplificação na raiz de x' = -1/2 , ficando na forma (2x+1), eu não entendi essa simplificação, alguém pode me ajudar por favor? 3:42(6 votos)
- "X = -1/2" é uma equação, porém para deixar o valor na forma de um binômio, no caso (2X+1) ele fez com que todos os termos da equação passem para o mesmo lado igualando a equação a zero da seguinte maneira:
x = -1/2
2*x = -1/2 *2
2x = -1
2x+1 = -1 +1
2x + 1 = 0(3 votos)
- a coma de -1 e -1/2 não seria -3/2?(4 votos)
- Não precisava ter divido por 2 aos, bastava pegar e fazer a multiplicação ac = 6. Isso evitaria de ter números em forma fracionária. 1:58(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA - Essa questão pede para a gente plotar as
raízes, ou seja, desenhar bolinhas aqui embaixo nesse gráfico onde ficam as
raízes reais do polinômio dado no gráfico abaixo. Então, esse daqui é o nosso polinômio, que a questão deu, e a gente vai ter que achar as raízes reais desse polinômio aqui. Então, eu vou começar reescrevendo o polinômio aqui em cima,
que vai ser "p(x) = 2x³ + 3x² + x". Como vocês
podem perceber o grau dessa função daqui, desse polinômio, é 3, e é
difícil a gente conseguir resolver logo de cara um polinômio, achar as raízes
reais dele quando o grau é 3. A gente está muito acostumado a achar quando grau é 2, por
exemplo aqui, mas com grau 3 fica realmente complicado.
Então, a ideia aqui vai ser achar algum número que seja comum a esses três termos, ao "2x³", ao mais "3x²", e ao "x", e que a gente possa então
utilizar como a primeira fatoração. Então, se vocês já perceberam aí, o "x" é um fator comum porque ele tem nos
três termos, ele multiplica tudo isso aqui. Então, eu posso escrever a função "p(x)" como sendo "x" que multiplica "2x² + 3x + 1". Vocês podem ver que eu botei o "x" multiplicando aqui, e isso baixou, no caso, diminuiu 1 grau em cada um desses expoentes aqui. Aqui, no caso, seria como se fosse "x⁰". Então, agora, a gente precisa fatorar
essa parte que ficou aqui dentro, que é uma equação do segundo grau, e vou fazer
a fatoração dela aqui no lado. Vou só reescrever ela aqui: "2x² + 3x + 1".
E eu vou pegar para fatorar esse termo aqui, que está aqui na
frente, que é o 2, e eu vou passar ele dividindo, no caso, pela
função toda, para ficar, aqui na frente, ficar 1, não ficar esse 2. Então, isso
daqui vai ser igual a "x²" mais "3/2" de "x" (porque eu dividi por 2) mais "1/2" (porque eu também dividi por 2 aqui). Então, agora a gente pode fatorar, a gente tem que descobrir dois números que multiplicados
deem "1/2" e que somados deem "3/2". Então, multiplicados têm que
dar "1/2" e somados têm que dar "3/2". Então, a gente acabou de conseguir dois valores de fatoração aqui. Um deles vai ser "-1" e o outro vai ser "-1/2". Se a
gente somar esses dois valores, vai dar "3/2" (vocês podem verificar); e, se a
gente pegar e multiplicar esses valores, vai dar mais "+1/2". Então, agora, a gente já
conseguiu fatorar, a gente já pode reescrever nossa função do polinômio; então o nosso polinômio de "x" vai ser igual a
"x" que multiplica "(2x + 1)" que multiplica "(x + 1)".
Vocês podem perceber que esse "+1" trocou de sinal porque ele está
nesse "-1" aqui. Aqui ele troca de sinal porque fica como se fosse nessa forma daqui:
"(x - a)". E como o "a" (o valor de "a") é "-1", fica "(x - (-1))", e isso
daqui é "(x + 1)". E a mesma coisa aqui: ao invés de escrever "+1/2" aqui, eu peguei e botei "(2x + 1)" porque fica mais fácil de fazer a
conta depois. Então, para a gente conseguir agora fazer com que esse polinômio seja
igual a zero (ou seja, aqui seja igual a "0"), a gente vai ter que zerar esse termo, esse termo, ou esse termo.
Então, esse polinômio vai ser igual a "0" quando "x" for igual a "0" (porque, se esse termo for "0" multiplicado por qualquer outra coisa aqui, o polinômio vai ser "0"); quando esse termo for "0", ou seja, "2x + 1" tem que ser igual a "0" (então, "2x" vai ter que ser igual a "-1"; no caso, subtraindo 1 em todos os lados),
"x" vai ter que ser igual a "-1/2"; e, aqui, esse termo também vai ter que ser igual a
"0", "x + 1 = 0" (agora eu vou subtrair um de cada lado) vai dar aqui "x = -1". Então, acabei de achar as três raízes
reais desse polinômio de grau 3 que a gente estava procurando. Então, agora eu já posso plotar no nosso gráfico. Vou fazer em uma cor roxa.
Aqui está o ponto "0x = 0". Aqui está o "x = -1/2" e
aqui está "x = -1". E é assim que fica essa questão. Esses são os três
pontos das três raízes reais desse nosso polinômio.
Então, espero que tenha ajudado vocês. Até o próximo vídeo.