Fatoração de polinômios de graus mais elevados

RKA - Essa questão pede para a gente plotar as raízes, ou seja, desenhar bolinhas aqui embaixo nesse gráfico onde ficam as raízes reais do polinômio dado no gráfico abaixo. Então, esse daqui é o nosso polinômio, que a questão deu, e a gente vai ter que achar as raízes reais desse polinômio aqui. Então, eu vou começar reescrevendo o polinômio aqui em cima, que vai ser "p(x) = 2x³ + 3x² + x". Como vocês podem perceber o grau dessa função daqui, desse polinômio, é 3, e é difícil a gente conseguir resolver logo de cara um polinômio, achar as raízes reais dele quando o grau é 3. A gente está muito acostumado a achar quando grau é 2, por exemplo aqui, mas com grau 3 fica realmente complicado. Então, a ideia aqui vai ser achar algum número que seja comum a esses três termos, ao "2x³", ao mais "3x²", e ao "x", e que a gente possa então utilizar como a primeira fatoração. Então, se vocês já perceberam aí, o "x" é um fator comum porque ele tem nos três termos, ele multiplica tudo isso aqui. Então, eu posso escrever a função "p(x)" como sendo "x" que multiplica "2x² + 3x + 1". Vocês podem ver que eu botei o "x" multiplicando aqui, e isso baixou, no caso, diminuiu 1 grau em cada um desses expoentes aqui. Aqui, no caso, seria como se fosse "x⁰". Então, agora, a gente precisa fatorar essa parte que ficou aqui dentro, que é uma equação do segundo grau, e vou fazer a fatoração dela aqui no lado. Vou só reescrever ela aqui: "2x² + 3x + 1". E eu vou pegar para fatorar esse termo aqui, que está aqui na frente, que é o 2, e eu vou passar ele dividindo, no caso, pela função toda, para ficar, aqui na frente, ficar 1, não ficar esse 2. Então, isso daqui vai ser igual a "x²" mais "3/2" de "x" (porque eu dividi por 2) mais "1/2" (porque eu também dividi por 2 aqui). Então, agora a gente pode fatorar, a gente tem que descobrir dois números que multiplicados deem "1/2" e que somados deem "3/2". Então, multiplicados têm que dar "1/2" e somados têm que dar "3/2". Então, a gente acabou de conseguir dois valores de fatoração aqui. Um deles vai ser "-1" e o outro vai ser "-1/2". Se a gente somar esses dois valores, vai dar "3/2" (vocês podem verificar); e, se a gente pegar e multiplicar esses valores, vai dar mais "+1/2". Então, agora, a gente já conseguiu fatorar, a gente já pode reescrever nossa função do polinômio; então o nosso polinômio de "x" vai ser igual a "x" que multiplica "(2x + 1)" que multiplica "(x + 1)". Vocês podem perceber que esse "+1" trocou de sinal porque ele está nesse "-1" aqui. Aqui ele troca de sinal porque fica como se fosse nessa forma daqui: "(x - a)". E como o "a" (o valor de "a") é "-1", fica "(x - (-1))", e isso daqui é "(x + 1)". E a mesma coisa aqui: ao invés de escrever "+1/2" aqui, eu peguei e botei "(2x + 1)" porque fica mais fácil de fazer a conta depois. Então, para a gente conseguir agora fazer com que esse polinômio seja igual a zero (ou seja, aqui seja igual a "0"), a gente vai ter que zerar esse termo, esse termo, ou esse termo. Então, esse polinômio vai ser igual a "0" quando "x" for igual a "0" (porque, se esse termo for "0" multiplicado por qualquer outra coisa aqui, o polinômio vai ser "0"); quando esse termo for "0", ou seja, "2x + 1" tem que ser igual a "0" (então, "2x" vai ter que ser igual a "-1"; no caso, subtraindo 1 em todos os lados), "x" vai ter que ser igual a "-1/2"; e, aqui, esse termo também vai ter que ser igual a "0", "x + 1 = 0" (agora eu vou subtrair um de cada lado) vai dar aqui "x = -1". Então, acabei de achar as três raízes reais desse polinômio de grau 3 que a gente estava procurando. Então, agora eu já posso plotar no nosso gráfico. Vou fazer em uma cor roxa. Aqui está o ponto "0x = 0". Aqui está o "x = -1/2" e aqui está "x = -1". E é assim que fica essa questão. Esses são os três pontos das três raízes reais desse nosso polinômio. Então, espero que tenha ajudado vocês. Até o próximo vídeo.