Fatoração da soma dos cubos

RKA - Fatore 27x⁶ + 125. Esse é um problema bem interessante e, francamente, a única forma de fazer é reconhecê-lo como uma forma especial. O que eu quero fazer é mostrar a forma especial primeiro, e a gente pode comparar os padrões. A forma especial... se eu pegasse... isso é algo que você realmente precisa saber. Discutiria se realmente precisa saber disso, mas na verdade, para resolver esse problema, é preciso saber. Se tivermos "a² - ab + b²" e multiplicarmos por "a + b", vamos pensar no resultado. Vamos pegar esse produto aqui e multiplicar. Vamos fazer uma multiplicação algébrica. Vamos multiplicar: "b" vezes "b²" é "b³"; "b" vezes "-ab" é "-ab²"; "b" vezes "a²" é "a²b". Agora vamos multiplicar esse termo superior por "a": "a" vezes "b²" é "ab²"; "a" vezes "-ab" é "-a²b". Então, "a" vezes "a²" é "a³". Temos apenas que somar todos esses termos. Temos "-a²b"... Ah, temos "+a²b" e "-a²b", eles se cancelam. Temos "-ab²", mais "ab²". Eles se cancelam. Então, o que resta é um "a³" aqui e mais esse "b³". Mais "b³". Ou outra forma de pensar: se alguém te der "a³ + b³", podemos fatorar em duas expressões. Teremos "(a + b) ‧ (a² - ab + b²)". Isso é, basicamente, a forma especial. Se tivermos a soma de cubos, ela pode ser fatorada como a soma das raízes cúbicas mais.... a soma das raízes cúbicas vezes essa expressão aqui, e provamos que funciona. Vejamos se temos a forma especial aqui. Bom, 27 é definitivamente 3³. 3³ é 27. "x⁶" também é o cubo de "x²". Se elevarmos "x⁶" a 1/3, obtemos "x²". Esse primeiro termo aqui pode ser reescrito como "(3x²)³" e o segundo termo aqui é 5³, então mais 5³. Isso pode parecer um pouco confuso. Nunca é ruim revisar. Vamos multiplicar "3x²" por "3x²" vezes "3x²" é literalmente igual a 3 vezes 3 vezes 3, vezes "x²" vezes "x²" vezes "x²". Esta parte aqui é 27. "x²" vezes "x²" é "x⁴", vezes "x²" é "x⁶". Ou podemos elevar esses dois ao cubo: 3³ é 27, "x²" elevado ao cubo, aplicamos um expoente a um expoente e obtemos o produto dos expoentes, então fica "(x²)³" ou "x⁶". Agora a gente sabe que temos esse padrão. Podemos usar isso. Temos a soma dos cubos, logo, apenas usando esse padrão aqui, significa que podemos fatorar como... isso é igual a... "3x²"... Deixa eu esclarecer: isso aqui é nosso "a", isso aqui é nosso "b", então, isso é "a + b". Temos "3x² + b", mais 5 vezes "a²". Vamos fazer isso de outra cor. "(3x²)²", vamos pensar nisso por um segundo. "(3x²)²", isso é 9 vezes "x⁴". Temos "9x⁴", menos o produto desses dois termos, menos o produto de 5 vezes "3x²". Menos "15x²". E finalmente, "+ b²". "b" é 5, teremos 5², ou seja, mais 25. Quando eu disse que "b" é esse... "b" não é todo o "5³". Quando eu digo "a", só essa parte é "a". E terminamos! Podemos... Eu não vou explicar em detalhes, mas isso aqui, se pensarmos em números reais, não podemos fatorar mais, então terminamos de fatorar. E lembre-se que este é apenas um caso muito, muito especial para poder reconhecer a soma dos cubos. Fui!