Expansão de binômios

RKA - Nesse vídeo a brincadeira vai ser outra. Eu estou aqui com um binômio que eu vou elevar a 5 aquela potência que é uma maior do que a gente tinha visto no último vídeo, e eu quero achar aqui, eu vou procurar qual vai ser o coeficiente, aqui vai ter por exemplo, alguma coisa mais um coeficiente, que vai ser esse daqui, que multiplica x⁶y⁶. Eu quero achar qual vai ser esse coeficiente aqui. Óbvio que depois aqui quanto mais continuaria com mais termos e assim vai, mas eu quero achar esse coeficiente aqui. Bem, como a gente faria isso? A gente pode usar o Triângulo de Pascal como no último vídeo que eu fiz, ou a gente pode pegar e fazer uma expansão de binômio e simplesmente copiar esses termos aqui, eu vou copiá-los aqui. (3y²) (6x³) mais, aqui tem que deixar um pouquinho de espaço. (3y²) (6x³), mais (3y²) (6x³), mais (3y²)(6x³) tem que fazer isso seis vezes. Estamos na quarta, vamos fazer mais duas vezes, (3y²)(6x³). Última vez, (3y²), deixa eu fazer de outra cor, (6x³). E, agora, é óbvio que na frente de cada um desses termos vai ter um coeficiente aqui multiplicando e a gente já pode descartar alguns termos porque a gente está procurando exatamente o que vai dar como resultado x⁶y⁶. Então aqui, por exemplo, como naquela progressão que a gente fez, em que a gente botava um expoente maior até o menor, eu vou fazer a mesma coisa aqui. Eu vou pegar aqui vai dar 5, 4, 3, 2, 1, zero e aqui, voltando de trás para frente, 5, 4, 3, 2, 1, zero. E agora a gente vai procurar o termo em que esse número daqui de x⁶y⁶. E se a gente for olhar por exemplo aqui, uma potência 2 elevado a uma potência 5 vai dar como resultado uma potência 10. Então, esse termo a gente já pode descartar. Uma potência 2 elevado a uma potência 4 daria uma potência 8, então esse termo a gente também pode descartar porque a gente quer uma potência 6. Esse 2, uma potência 2 elevado a uma potência 3 dá como resultado uma potência 6, então por enquanto deu certo. E esse 3, essa potência 3 elevada a uma potência 2 dá como resultado uma potência 6, então é esse termo daqui que nós vamos procurar. Agora, a maneira mais fácil de achar esse coeficiente que multiplica aqui na frente é, na minha opinião, é um pouco de combinatória, de análise combinatória. É aquele negócio que a gente viu que fazia parte da fórmula do Teorema do Binômio que era, por exemplo, o "n, k" a "k". Deixa eu fazer isso aqui em branco. "n" "k" a "k" Então, vocês podem achar isso aqui um pouco estranho mas eu vou usar isso daqui porque vai ficar bem mais fácil no fim das contas. Então, se vocês não tiverem muito acostumados com isso ainda, sugiro que vocês assistam o primeiro vídeo sobre Expansão Binomial. Então, olhando aqui vai ser sempre, a análise combinatória vai ser sempre esse "n", que é o número, o expoente maior, sobre o "k", que vai ser sempre esse expoente menor aqui que está no outro lado aqui, que não é esse daqui. Então aqui nesse primeiro termo ficaria "n", que no caso é 5, já vou marcar aqui como 5, zero a zero. Aqui ficaria 5, 1 a 1, esse termo daqui está multiplicando esses aqui. Está aqui na frente, eu só não fiz aqui na frente porque não vai ter espaço. Pera aí que eu vou, esse daqui eu vou fazer ele frente para não confundir vocês. 5, 1 a 1. E aqui, que é o termo que a gente quer, 5, 2 a 2. Só que tem que cuidar porque o resultado disso daqui não vai ser o que a gente está procurando. O resultado disso daqui não vai ser o coeficiente que multiplica isso daqui, porque existe um coeficiente aqui dentro e um coeficiente aqui dentro ainda. Então, vamos calcular esse 5, 2 a 2. Vai ser 5 fatorial, que é 5 vezes 4, vezes 3, vezes 2, vezes 1, dividido por 2!, 5 - 2! (fatorial). Só deixa eu já... 2! vai ser 2 vezes 1, já vou marcar assim, que multiplica 5 - 2! que é 3! 3 · 2 · 1. Então, esses "1" aqui não vai mudar o valor, a gente já pode cortar, esse 3 e esse 2 a gente pode botar com esse 3 e com esse 2, e esse 2 a gente pode cortar com esse 4 aqui, daí aqui fica 2. E o resultado disso seria 10. Então, a gente achou o coeficiente aqui, deixa eu fazer para baixo isso daqui. A gente achou o coeficiente aqui que seria 10. Só que agora a gente tem que multiplicar esse 10 por isso daqui. Então, eu já vou marcar aqui vou fazer de outra cor, vai ser 10 vezes 3³y⁶, que eu já multiplique isso daqui, aqui é multiplicado, vezes 6² que multiplica x⁶. E o resultado disso daqui, o resultado desse coeficiente aqui vai ser 10 vezes 27, que é 3³, vezes 27, vezes 36, que é 6², 36 vezes y⁶x⁶. E o resultado dessa multiplicação aqui vai ser o nosso resultado do coeficiente que a gente estava procurando. Então, agora para achar isso daqui eu vou abrir a minha calculadora gráfica e vou fazer aqui a conta. Vou começar ligando e vou marcar 10 vezes 27, vezes 36, e o resultado disso daqui vai ser 9720. Então, eu vou marcar aqui 9720 e esse já é o resultado que eu posso botar aqui. E essa aqui é a resposta da nossa questão, esse aqui é o coeficiente que multiplica aquilo. E agora a gente poderia ter achado esse número 10 aqui da mesma maneira como a gente usou o Triângulo de Pascal. A gente poderia pegar aqui o 1, que seria no caso a potência elevada a 0, e começar e continuar a... e ter continuado a fazer essa progressão aqui, que aqui vai ser 2, aqui vai ser 1, continuar aqui, continuar aqui, aqui vai ser 1, aqui vai ser 3, aqui vai ser 3. Aqui, aqui, aqui. Aqui vai ser 1, aqui vai ser 4, aqui vai ser 6, aqui vai ser 4, aqui vai ser 1, mais uma só agora. Aqui vai ser 1, aqui vai ser 5, aqui vai ser 10, aqui vai ser 10, e aqui vai ser 5 e aqui vai ser 1. Então, o nosso termo aqui que a gente estava procurando era o terceiro, o terceiro termo da multiplicação. E se a gente for olhar aqui o terceiro termo da multiplicação vai ser justamente o 10 que a gente estava procurando, e não precisava de análise combinatória para isso, nosso Triângulo de Pascal já poderia resolver a questão. Então esse é o vídeo, espero que tenha ajudado e até o próximo.