Exemplo solucionado: cálculo de expressões usando estruturas

Vou resolver alguns problemas clássicos, que surgiram em competições de matemática e algumas vezes em testes padronizados, que parecem ser problemas bastante desafiadores e intimidadores. Mas esperamos que, com esse vídeo, perceba que, se observar o que eles pedem, não é tão difícil. Vamos tentar esse aqui primeiro. Sabemos que "a + b + c = 7". E também que "5a + 5b + 5c" é igual a...? A primeira reação é... bom, você acabou de me dar uma equação aqui. Uma equação com três incógnitas, como resolvo "a", "b" ou "c"? Não preciso saber resolver "a", "b" ou "c" para descobrir quanto "5a + 5b + 5c" é. Deixarei você pensar sobre isso por um segundo. A ideia geral aqui é compreender que "5a + 5b + 5c" é o mesmo que cinco vezes "a" mais "b", mais "c". E, se distribuir os 5 aqui (5 vezes "a", 5 vezes "b", 5 vezes "c"), vai obter "5a + 5b + 5c". Outra forma de pensar nisso é que estamos fatorando o 5. Se fatorar o 5, obtém 5 vezes "a + b + c". Agora, como avaliamos isso? Bom, a primeira equação nos dá toda a informação de que precisamos. Disseram para a gente que: "a + b + c" é igual a 7. "a + b + c" é igual a 7. 5 vezes "a + b + c" é exatamente a mesma coisa. Acredito que consiga ver aonde isso vai resultar agora. É 5 vezes 7. Agora, fica bastante simples. E será igual a 35. Vamos fazer mais um desses. E esse será um pouco mais elaborado, mas esperamos que perceba a mesma ideia. Sabemos que "a + b + c" é igual a "-1". Temos duas variáveis a mais aqui. Disseram que "x"... disseram que "x + y" é igual a 7. Então, nos perguntam essa grande coisa complicada. A que isso é igual? Vou te dar alguns segundos para pensar. Você pode pensar que recebeu três variáveis com uma equação aqui, outras duas variáveis com outra equação. Temos cinco incógnitas com duas equações. Não há forma de podermos descobrir individualmente o que "a", ou "b" ou "c" ou "x" ou "y" é. Mas, talvez, a gente possa usar o que vimos no exemplo anterior para resolver esse exemplo. Podemos querer fazer essa reorganização, de forma que tenhamos os "x" e "y" agrupados, de certa forma, assim como os "a", "b" e "c" agrupados. Vamos nos concentrar, em primeiro lugar, nos "a", "b" e "c". A gente tem "-9a", "-9b" (vou colocar em ordem alfabética), e "-9c". Acredito que verá o que está se formando. Vamos trabalhar com os "x" e "y". Temos "-7x" e "-7y". Logo, tudo o que eu fiz foi reorganizar essa expressão aqui. Mas isso faz com que fique, de certa forma, um pouco mais claro. Vamos ver o que está havendo aqui. Esses três primeiros termos podemos fatorar em "-9". Vamos obter "-9"... a gente obtém "-9 ‧ (a + b + c)". Esses dois outros termos posso fatorar com 7. "-7 ‧ (x + y)". Só para verificar, se quiser fazer de outra forma, multiplique esse "-7" por "x + y" e obterá isso. Multiplique "-9" por "a + b + c", distribui e vai obter isso aqui. Isso deixa as coisas um pouco mais claras. "a + b + c" é igual a quê? Eles nos dizem: "a + b + c" é igual a "-1". Toda essa expressão é "-1", pelo menos entre parênteses. "x + y" é igual a quê? Deixa eu fazer de outra cor. "x + y", está dito aqui, é igual a 7. Essa coisa toda é simplificada para "-9 ‧ (-1) - 7 ‧ (7)", portanto, é igual... (estamos na reta final, hein)... "-9" vezes "-1", que é "+9". "-7" vezes 7 é "-49". Então é "9 - 49", que é igual a... "-40" e terminamos!