Conteúdo principal

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10

Lição 11: Fatoração de monômios

Máximo divisor comum de monômios

Aprenda a encontrar o MDC (Máximo Divisor Comum) de dois ou mais monômios.

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Um monômio é uma expressão que consiste no produto de constantes por potências inteiras e não negativas de

x

, como por exemplo

3 x^{2}

. Um polinômio é uma soma de monômios.

Você pode escrever a fatoração completa de um monômio escrevendo a fatoração em números primos do coeficiente e expandindo a parte variável. Confira nosso artigo Fatoração de monômios se isso for novidade para você.

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai aprender sobre o máximo divisor comum (MDC) e como determiná-lo para monômios.

Revisão: máximo divisor comum de números inteiros

O máximo divisor comum de dois números é o maior número inteiro que é um divisor de ambos os números. Por exemplo, o MDC de

12

18

6

Podemos encontrar o MDC de dois números quaisquer por meio do exame de suas fatorações em números primos:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ ‍

Observe que

12

18

têm um divisor de

2

e um divisor de

3

em comum, portanto, o máximo divisor comum de

12

18

2 \cdot 3 = 6

Máximo divisor comum de monômios

O processo é semelhante quando você precisa encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais monômios.

Basta escrever a fatoração completa de cada monômio e encontrar os divisores comuns. O produto de todos os divisores comuns será o MDC.

Por exemplo, vamos encontrar o máximo divisor comum de

10 x^{3}

4 x

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$ ‍

Observe que

10 x^{3}

4 x

têm um divisor de

2

e um divisor de

x

em comum. Portanto, o máximo divisor comum deles é

2 \cdot x

2 x

Teste seu conhecimento

1) Qual é o máximo divisor comum de $9 x^{2}$ ‍ e $6 x$ ‍?

2) Qual é o máximo divisor comum de $12 x^{5}$ ‍ e $8 x^{3}$ ‍?

3) Qual é o máximo divisor comum de $5 x^{7}$ ‍, $30 x^{4}$ ‍ e $10 x^{3}$ ‍?

Vamos fatorar completamente cada monômio. Em seguida, podemos encontrar os divisores comuns a todos os três monômios e multiplicá-los para encontrar o MDC.

$5 x^{7} = 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$30 x^{4} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Observe que cada monômio tem um divisor de

5

e três divisores de

x

. Portanto, o máximo divisor comum dos monômios é

5 \cdot x \cdot x \cdot x

5 x^{3}

Uma observação sobre a parte variável do MDC

Em geral, a parte variável do MDC para quaisquer dois ou mais monômios será igual à parte variável do monômio com a menor potência de

x

Por exemplo, considere os monômios

6 x^{5}

4 x^{2}

Como a menor potência de $x$ ‍ é $x^{2}$ ‍, esta será a parte variável do MDC.
Então, você pode encontrar o MDC de $6$ ‍ e $4$ ‍, que é $2$ ‍, e multiplicá-lo por $x^{2}$ ‍ para obter $2 x^{2}$ ‍, o MDC dos monômios!

\begin{aligned} O MDC de 6 e 4 é 2 & A menor potência de x^{5} e x^{2} é x^{2} \\ ↘ & ↙ \\ MDC (6 x^{5}, 4 x^{2}) = 2 & x^{2} \end{aligned}

É especialmente útil entender isso na hora de calcular o MDC de monômios com potências de

x

muito grandes. Por exemplo, seria muito tedioso fatorar completamente monômios como

32 x^{100}

16 x^{88}

Desafios

4*) Qual é o máximo divisor comum de $20 x^{76}$ ‍ e $8 x^{92}$ ‍?

5*) Qual é o máximo divisor comum de $40 x^{5} y^{2}$ ‍ e $32 x^{2} y^{3}$ ‍?

Para encontrar o máximo divisor comum de

40 x^{5} y^{2}

32 x^{2} y^{3}

, vamos fatorar completamente cada monômio e ver o que eles têm um comum.

$40 x^{5} y^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍
$32 x^{2} y^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍

Cada monômio tem três divisores de

2

, dois divisores de

x

e dois divisores de

y

em comum. Portanto, o máximo divisor comum do polinômio é

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y

8 x^{2} y^{2}

De maneira alternativa, observe que a menor potência de

x

x^{2}

e que a menor potência de

y

y^{2}

. Portanto, a parte variável do MDC será

x^{2} y^{2}

. O MDC de

40

32

8

e, portanto, o MDC dos monômios é

8 x^{2} y^{2}

O que vem agora?

Para saber como podemos usar essas habilidades para fatorar polinômios, confira nosso próximo artigo sobre fatoração do máximo divisor comum!

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

Nenhuma postagem por enquanto.

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.