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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10
Lição 12: Fatoração de polinômios encontrando fatores comuns- Fatoração com propriedade distributiva
- Fatoração de polinômios com um divisor comum
- Cálculo do divisor comum de binômios
- Cálculo do divisor comum de trinômios
- Cálculo do divisor comum: modelo de área
- Fatoração de polinômios: fator binomial comum
- Fatore polinômios: divisor comum
- Revisão de fatoração pelo divisor comum
- Fatoração de polinômios: fator comum (antigo)
- Fatoração de polinômios: fator comum (antigo)
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Fatoração de polinômios com um divisor comum
Aprenda a fatorar um fator comum de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatore 6x²+10x como 2x(3x+5).
Conceitos com que você deve estar familiarizado antes dessa lição
O MDC (máximo divisor comum) de dois ou mais monômios é o produto de todos os seus fatores primos em comum. Por exemplo, o MDC de e é .
Se isso é novidade para você, confira nosso artigo sobre máximo divisor comum de monômios.
O que você vai aprender nessa lição
Nessa lição, você aprenderá a fatorar elementos comuns de polinomiais.
A propriedade distributiva:
Para entender como fatorar elementos comuns, devemos entender a propriedade distributiva.
Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de e , como mostrado abaixo:
Observe como cada termo no binômio foi multiplicado por um fator comum de .
No entanto, como a propriedade distributiva é uma igualdade, o processo inverso também é verdadeiro!
Se começarmos com , podemos usar a propriedade distributiva para fatorar e obter .
A expressão resultante está na forma fatorada, porque está escrita como um produto de dois polinômios, enquanto a expressão original é a soma de dois termos.
Teste seu conhecimento
Como fatorar o máximo divisor comum (MDC)
Para fatorar o MDC de um polinômio, fazemos o seguinte:
- Calcule o MDC de todos os termos no polinômio.
- Expresse cada termo como um produto do MDC e outro fator.
- Use a propriedade distributiva para fatorar o MDC.
Vamos fatorar o MDC de .
Etapa 1: Calcule o MDC
Então, o MDC de é .
Passo 2: Expresse cada termo como um produto de e outro fator.
Então, o polinômio pode ser escrito como .
Passo 3: Fatore o MDC
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva para fatorar o .
Como verificar nosso resultado
Podemos verificar nossa fatoração multiplicando de volta no polinômio.
Como isso é igual ao polinômio original, nossa fatoração está correta!
Teste seu conhecimento
Podemos ser mais eficientes?
Se se sentir confortável com o processo de fatoração do MDC, você pode usar um método mais rápido:
Como sabemos qual é o MDC, a forma fatorada é simplesmente o produto entre esse MDC e a soma dos termos do polinômio original dividido pelo MDC.
Veja, por exemplo, como podemos usar este método rápido para fatorar , cujo MDC é :
Fatoração de fatores binomiais
O fator comum em um polinômio não precisa ser um monômio.
Por exemplo, considere o polinômio .
Observe que o binômio é comum aos dois termos. Podemos fatorar isso usando a propriedade distributiva:
Teste seu conhecimento
Diferentes tipos de fatoração
Pode parecer que usamos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:
- Nós fatoramos monômios escrevendo-os como um produto de outros monômios. Por exemplo,
. - Nós fatoramos o MDC de polinômios usando a propriedade distributiva. Por exemplo,
. - Fatoramos fatores binomiais comuns cujo resultado em uma expressão era igual ao produto de dois binômios. Por exemplo:
Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em todos os casos estamos escrevendo o polinômio como um produto de dois ou mais fatores. Então, em todos os três exemplos, nós realmente fatoramos o polinômio.
Desafios
Quer participar da conversa?
- Na questão 7, não deveria estar a palavra comprimento no lugar de altura ?(6 votos)
- Sim, provavelmente deve ter sido algum erro de tradução!(6 votos)
- Por que quando fazemos MDC precisamos ver quais os números PRIMOS estão em comum entre os polinômios/monômios? Por que não é qualquer número?(2 votos)
- Decompomos em fatores primos porque queremos tomar o máximo divisor comum, isto é, queremos que não haja nenhum divisor maior que o que estamos determinando. Outros números darão um divisor comum também, mas apenas números primos determinam o máximo divisor.(4 votos)
- quando eu sei que tem qui trocar o sinal(1 voto)
- Troca-se de sinal quando se muda um termo de posição ou quando está o sinal perante um termo em parêntesis. Por exemplo: x-2=3 (=) x=3 + 2 . Neste caso mudou-se porque mudou de lugar.
Em 2x-9-3+3x = 5x-6 , mas não se mudou de sinal pois não foi para o outro lado de um sinal de igualdade.
Em (2x+3)-(3x+4) = 2x+3-3x-4 -> Repare no "-4" . Mudou-se por que "-" e "+" são diferentes logo vai ser menos. Como tal, mudou-se. Ou também pode imaginar que em vez de um -(3x+4) estava -1(3x+4) por que é a mesma coisa.
Ou seja, muda-se quando se troca um termo (número, produto de uma variável) para o outro lado de qualquer sinal de igualdade (igual, menor que, maior que); muda-se também quando está um sinal á frente de termos sob-parêntesis; e muda-se quando vai estar dois sinais juntos que são diferentes (menos com mais dá menos , menos com menos dá mais, mais com mais dá mais).
Espero que tenha ajudado!(2 votos)
- qual é a respostas?(1 voto)
- Por que na questão 4 se eu fizer x(x(3)-8x(2)+X) não está certo? Os números em parênteses são as potências(1 voto)
- Não é que não esteja certo, é que o exercício busca uma fatoração completa, ou seja, fatorar pelo maior divisor comum (MDC). Logo, como "x¹" não é o MDC do polinômio, a questão não fora considerada correta.
Acredito que você tenha colocado apenas "x¹" como fator pois acreditou que precisava manter o último "x¹" que estava na expressão do exercício. Você pode, e incluisve, para o caso deste exercício, deve continuar a fatorar, colocando como fator "x²" e deixando este último "x¹" como 1, para demonstrar que este número também deve ser multiplicado por "x²". Sempre que o MDC for um dos monômios, este deve ser escrito como "1", para ser multiplicado pelo fator.
Espero ter ajudado(0 votos)
- Eu sei que quando tem dois x ao quadrado e dividimos o resultado é 1(0 votos)