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Conteúdo principal

Fatoração de polinômios com um divisor comum

Aprenda a fatorar um fator comum de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatore 6x²+10x como 2x(3x+5).

Conceitos com que você deve estar familiarizado antes dessa lição

O MDC (máximo divisor comum) de dois ou mais monômios é o produto de todos os seus fatores primos em comum. Por exemplo, o MDC de 6, x e 4, x, squared é 2, x.
Se isso é novidade para você, confira nosso artigo sobre máximo divisor comum de monômios.

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você aprenderá a fatorar elementos comuns de polinomiais.

A propriedade distributiva: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Para entender como fatorar elementos comuns, devemos entender a propriedade distributiva.
Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de 3, x, squared e 4, x, plus, 3, como mostrado abaixo:
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Observe como cada termo no binômio foi multiplicado por um fator comum de start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99.
No entanto, como a propriedade distributiva é uma igualdade, o processo inverso também é verdadeiro!
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis
Se começarmos com 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, podemos usar a propriedade distributiva para fatorar start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 e obter 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
A expressão resultante está na forma fatorada, porque está escrita como um produto de dois polinômios, enquanto a expressão original é a soma de dois termos.

Teste seu conhecimento

Problema 1
Escreva 2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis na forma fatorada.
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Como fatorar o máximo divisor comum (MDC)

Para fatorar o MDC de um polinômio, fazemos o seguinte:
  1. Calcule o MDC de todos os termos no polinômio.
  2. Expresse cada termo como um produto do MDC e outro fator.
  3. Use a propriedade distributiva para fatorar o MDC.
Vamos fatorar o MDC de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
Etapa 1: Calcule o MDC
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Então, o MDC de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared é start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99.
Passo 2: Expresse cada termo como um produto de start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99 e outro fator.
  • 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
  • 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Então, o polinômio pode ser escrito como 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Passo 3: Fatore o MDC
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva para fatorar o start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis
Como verificar nosso resultado
Podemos verificar nossa fatoração multiplicando 2, x, squared de volta no polinômio.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Como isso é igual ao polinômio original, nossa fatoração está correta!

Teste seu conhecimento

Problema 2
Fatore o máximo divisor comum de 12, x, squared, plus, 18, x.
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 3
Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

Problema 4
Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Podemos ser mais eficientes?

Se se sentir confortável com o processo de fatoração do MDC, você pode usar um método mais rápido:
Como sabemos qual é o MDC, a forma fatorada é simplesmente o produto entre esse MDC e a soma dos termos do polinômio original dividido pelo MDC.
Veja, por exemplo, como podemos usar este método rápido para fatorar 5, x, squared, plus, 10, x, cujo MDC é start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Fatoração de fatores binomiais

O fator comum em um polinômio não precisa ser um monômio.
Por exemplo, considere o polinômio x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Observe que o binômio start color #0c7f99, 2, x, minus, 1, end color #0c7f99 é comum aos dois termos. Podemos fatorar isso usando a propriedade distributiva:
x, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, minus, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, right parenthesis

Teste seu conhecimento

Problema 5
Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Diferentes tipos de fatoração

Pode parecer que usamos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:
  • Nós fatoramos monômios escrevendo-os como um produto de outros monômios. Por exemplo, 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
  • Nós fatoramos o MDC de polinômios usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Fatoramos fatores binomiais comuns cujo resultado em uma expressão era igual ao produto de dois binômios. Por exemplo:
x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em todos os casos estamos escrevendo o polinômio como um produto de dois ou mais fatores. Então, em todos os três exemplos, nós realmente fatoramos o polinômio.

Desafios

Problema 6
Fatore o máximo divisor comum do seguinte polinômio.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

Problema 7
Um grande retângulo com área de 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared metros quadrados está dividido em dois retângulos menores com áreas de 14, x, start superscript, 4, end superscript e 6, x, squared metros quadrados.
A altura do retângulo (em metros) é igual ao máximo divisor comum de 14, x, start superscript, 4, end superscript e 6, x, squared.
Quais são a altura e a largura do retângulo grande?
start text, A, l, t, u, r, a, end text, equals
metros
start text, L, a, r, g, u, r, a, end text, equals
metros

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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Vagner Silva
    Na questão 7, não deveria estar a palavra comprimento no lugar de altura ?
    (6 votos)
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  • Avatar starky sapling style do usuário analopes23
    quando eu sei que tem qui trocar o sinal
    (2 votos)
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    • Avatar leaf yellow style do usuário Luís Filipe Ribeiro
      Troca-se de sinal quando se muda um termo de posição ou quando está o sinal perante um termo em parêntesis. Por exemplo: x-2=3 (=) x=3 + 2 . Neste caso mudou-se porque mudou de lugar.
      Em 2x-9-3+3x = 5x-6 , mas não se mudou de sinal pois não foi para o outro lado de um sinal de igualdade.
      Em (2x+3)-(3x+4) = 2x+3-3x-4 -> Repare no "-4" . Mudou-se por que "-" e "+" são diferentes logo vai ser menos. Como tal, mudou-se. Ou também pode imaginar que em vez de um -(3x+4) estava -1(3x+4) por que é a mesma coisa.
      Ou seja, muda-se quando se troca um termo (número, produto de uma variável) para o outro lado de qualquer sinal de igualdade (igual, menor que, maior que); muda-se também quando está um sinal á frente de termos sob-parêntesis; e muda-se quando vai estar dois sinais juntos que são diferentes (menos com mais dá menos , menos com menos dá mais, mais com mais dá mais).
      Espero que tenha ajudado!
      (3 votos)
  • Avatar leaf green style do usuário Nathan
    Por que quando fazemos MDC precisamos ver quais os números PRIMOS estão em comum entre os polinômios/monômios? Por que não é qualquer número?
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário Nathalia  Patez França
    Por que na questão 4 se eu fizer x(x(3)-8x(2)+X) não está certo? Os números em parênteses são as potências
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar blobby blue style do usuário Gustavo Farina
      Não é que não esteja certo, é que o exercício busca uma fatoração completa, ou seja, fatorar pelo maior divisor comum (MDC). Logo, como "x¹" não é o MDC do polinômio, a questão não fora considerada correta.

      Acredito que você tenha colocado apenas "x¹" como fator pois acreditou que precisava manter o último "x¹" que estava na expressão do exercício. Você pode, e incluisve, para o caso deste exercício, deve continuar a fatorar, colocando como fator "x²" e deixando este último "x¹" como 1, para demonstrar que este número também deve ser multiplicado por "x²". Sempre que o MDC for um dos monômios, este deve ser escrito como "1", para ser multiplicado pelo fator.

      Espero ter ajudado
      (1 voto)
  • Avatar leafers sapling style do usuário pet17.gustavoelizalde
    quanto é 5+5?
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar female robot ada style do usuário kailaynnemacena
    Eu sei que quando tem dois x ao quadrado e dividimos o resultado é 1
    (0 votos)
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