Fatoração de polinômios: fator comum (antigo)

RKA - Fatorar o máximo divisor comum usando o fator comum em evidência. E a expressão que dá é "4x⁴y + 8x³y". Quando se diz para fatorar o máximo divisor comum, está dizendo para encontrar o máximo divisor comum de "4x⁴y" e "8x³y", e fatorar essa expressão fazendo o inverso da distributiva, e encontrar o máximo divisor comum. Agora, sempre coloco entre aspas quando falamos em termos algébricos, porque não sabemos, na verdade, o que são "x" e "y", se são positivos ou negativos, ou se são maiores ou menores que 1. Portanto, não será o maior número absoluto, mas é tipo um maior e contém os maiores termos dessas duas expressões, dois monômios. Portanto, se basicamente fatorarmos "4x⁴y", ele ficaria assim: fazemos a fatoração de 4 (que é justamente 2 vezes 2), vezes "x⁴" (que é "x" vezes "x" vezes "x" vezes "x"), vezes "y". Simplesmente, podemos meio que ampliar isso como o produto de seus constituintes básicos. Agora, vamos fazer a mesma coisa com "8x³y". A gente tem nessa situação: 8x³y. Portanto, a fatoração de 8 é 2 vezes 2 vezes 2. Primeiro, ou devo dizer, a fatoração de "x³", a ampliação dele, é apenas "x" vezes "x" vezes "x", ou seja, "x" multiplicado por ele mesmo três vezes; e multiplicamos tudo por "y" aqui. Quais fatores são comuns aos dois? Se quiserem, vou incluir tanto quanto possível para encontrar esse máximo divisor comum. Então, a gente tem duas vezes o número 2 aqui, três vezes o número 2 aqui; portanto, somente temos duas vezes o número 2 em comum nos dois monômios. Temos "4x" aqui e somente "3x" aqui, portanto só temos "3x" em comum. Temos um "y" aqui e um "y" aqui. "y" é comum para os dois (para as duas expressões), então o máximo divisor comum aqui será: 2 vezes 2 vezes "x" vezes "x" vezes "x" vezes "y", ou 4 vezes "x³" vezes "y". Portanto, isso é o que queremos fatorar. Significa que podemos escrever isso como: se fatorarmos "4x³y", basicamente, devemos dividir cada um dos termos por "4x³" (deixa eu reescrever isso aqui). Então, fica "4x⁴y + 8x³y", e vamos dividir cada um deles por "4x³y". Espero que esteja entendendo. Para multiplicarmos isso, distribuiremos "4x³y" em cada um dos termos; e ele se cancela com o denominador (temos a mesma coisa no numerador e no denominador). Assim, obtemos esta expressão. Espero que esteja claro que as duas são exatamente a mesma expressão. Quando escrevemos assim, fica mais claro que isso é "4x³y". Aí, é só simplificar cada uma das expressões: 4 cancela com o 4, "x⁴" dividido por "x³" é x, "y" dividido por "y" é 1. Então, fica "x" mais 8 dividido por 4, que dá 2, x³ dividido por x³ é 1, "y" dividido por "y" é 1: "x + 2". Outra forma de descobrir o que sobra quando fatoramos é: se retirarmos o fator comum (portanto, isso e isso), o que restaria de "4x⁴y" quando tirarmos isso? Quando a gente faz o inverso da distributiva? A única coisa que restou foi esse "x" (deixa eu circular de outra cor). Só restou o "x"; é por isso que temos só aquele "x" ali. Quando fatoramos tudo do "8x³y", decompusemos todas essas coisas. Fatoramos "4x⁴y", então só sobrou o 2. Geralmente, você não precisa fazer todo esse processo. Podia ter feito desse jeito, mas acho que isso esclarece o que fizemos. Você poderia ter dito: olha, "4x⁴y + 8x³y".... poderia ter dito, vamos ver... o maior número divisível por 4 e 8 é 4, então, decompomos o 4. O maior múltiplo de "x" divisível por "x⁴" e "x³" é "x³". Colocamos o "x³" aqui. E o maior divisível por "y" e "y" é "y". Dava para ter feito mais rapidamente de cabeça. Fatoramos "4x³y". Aí, ok. Se eu tirar o 4 daqui, sobra 1. Se fizer a decomposição de "x³" e de "x⁴", restará apenas um "x". Se tirar "y" do "y", sobra apenas o 1. Esse termo é "x"; e, aí, tirando 4 de 8 sobrará 2. Dividindo "x³" por "x³" dá 1, e "y" dividido por "y" também. O que resta é: "x + 2". Com o tempo, você vai acabar fazendo isso de cabeça mais rapidamente, mas eu espero que tenha esclarecido tudo.