Fatoração de polinômios: fator comum (antigo)

RKA - O exercício pede para a gente fatorar "20u²v - 10uv²". E, quando se referem a um fator binomial como esse, uma expressão que tem dois termos como essa, significa dividi-la no produto de um ou mais termos. Vamos ver se conseguimos fazer isso. A maneira mais fácil é dizer: ah, tem algum fator comum? Em particular, vamos encontrar o máximo divisor comum de cada um desses termos e depois dividi-los, ou podemos imaginar desmembrando e vou mostrar do que eu estou falando já já. Por fim, seremos capazes de fazer isso de cabeça, mas vamos fazer passo a passo por enquanto. Logo, o que é "20u²v" se fatorarmos a expressão? "20u²v", se fizermos a fatoração em números primos é: 20 é 2 vezes 2 vezes 5, certo? Isso é 2 vezes 10, que é 20. "u²" é 20 vezes "u" vezes "u" e "v" é apenas "v". Logo, reescrevemos "20u²v" em um tipo de produto de seus menores componentes, seus componentes mais básicos, números primos e apenas "u" e "v". Agora, vamos fazer exatamente a mesma coisa com "10uv²". Vamos colocar o sinal negativo ali para não alterar a expressão. 10 é, se dividimos em fatores primos, 2 vezes 5. Então temos "u" vezes "v" vezes "v". Isso é "v²" (vezes "v" vezes "v"). Agora, qual é o máximo divisor comum desses dois termos aqui? Vejamos, eles têm um 2. Os dois têm um 2 aqui. Vamos circular esse um. Os dois têm um 5 (aqui está um 5, outro 5), os dois têm um "u" (um "u" aqui, um "u" aqui). Esses aqui têm dois, mas só esse tem um, e eles dois têm pelo menos um "v". O máximo divisor comum é: 2 vezes 5 vezes "u" vezes "v". Portanto, eu posso reescrever essa expressão ou posso desmembrar o  2 vezes 5 vezes "u" vezes "v", e o que obtemos? Se escrevermos 2 vezes 5 vezes "u" vezes "v" e dissermos que vai ser essa expressão, é igual a isso vezes o quê? Bom, se fatorar o 2 vezes 5 vezes "u" vezes "v", tudo o que resta neste primeiro termo é o 2 vezes "u". Então, "2u". E no segundo termo, tudo o que resta é um "v", certo? Todo o resto é fatorado, tudo o que resta é um "v". Se eu multiplicar 2 vezes 5 vezes "u" vezes "v" vezes "2u", eu obtenho esse primeiro termo aqui. Logo, se distribuí-lo, eu obteria esse primeiro termo. E se multiplicar 2 vezes 5 vezes "u" vezes "v" vezes esse "v" aqui, obtenho esse segundo termo. Então, essa expressão e essa outra são exatamente a mesma coisa. Fatoramos, agora podemos simplificá-la um pouco mais. 2 vezes 5 vezes "u" vezes "v" reescrevemos como "10uv". E dentro desses parênteses podemos ter um "2u" e um "-v" (menos "v") e terminamos. Fatoramos a expressão. Você não vai fazer isso até esse nível, mas essa é a melhor maneira de pensar. Eventualmente, você vai dizer: ah, espere aí, olha, o maior número que divide esses dois é 10, porque vemos que 10 cabe em 20 e 10 cabe em 10. E, vejamos, um "u" cabe nesses dois e um "v" cabe nesses dois. Então vamos fatorar "10uv". Se dividir isso por "10uv", eu fico com "2u"; e, se eu dividir isso por "10uv", vou ficar com um "v". Então, essa é a outra maneira de pensar. Deixa eu fazer isso agora, para que possamos dizer que são a mesma coisa. Outra abordagem, você pode dizer que isso é a mesma coisa que... bom, o maior número que divide esses dois é "10uv" e isso vai ser multiplicado por "20u²v" sobre "10uv" menos isso: "10uv²" sobre "10uv". Essa expressão e essa outra obviamente são a mesma coisa. Se tivesse que distribuir o "10uv", ele se cancelaria com cada um desses no denominador aqui. Então, são a mesma coisa. Mas o que podemos fazer é simplificar isso. Podemos dizer que 20 dividido por 10 é apenas 2. "u²" dividido por "u" é apenas um "u". "v" dividido por "v" é apenas 1. 10 dividido por 10 é 1. "u" dividido por "u" é 1, "v²" dividido por "v" é apenas "v¹". Ficamos com "10uv ‧ (2u - v)". De qualquer forma, obtemos a mesma resposta.