Fatoração de equações do segundo grau com duas variáveis

RKA - Em nosso kit de ferramentas, já dispomos daquelas para fatorar algo como "x² + 4x - 5" e pensamos em fazer assim: dois números cujo produto seria -5 e cuja soma seria +4. O fato de seu produto ser negativo, nos diz que um deles vai ser positivo e que o outro vai ser negativo. Tem algumas formas de fazer isso. Dá para dizer: "bom, talvez um dos números seja -1 e o outro 5". De fato, assim parece funcionar; "(-1)‧(5)" é igual a -5, "-1 + 5" vai dar +4. Então, esse, na verdade, parece funcionar. A outra opção teria sido (visto que estamos apenas lidando com os fatores de 5, e 5 é um número primo)... a outra opção teria sido algo como 1 e -5. Tem somente dois fatores para 5, então 1 e -5; seu produto teria sido -5. Mas, se você fosse somar esses dois números, teria obtido um -4 bem aqui. Iremos com -1 e 5; e isso diz que, se quiser fatorar usando as ferramentas que já conhecemos, teremos... (deixa eu escrever esses números com uma cor diferente para a gente poder continuar acompanhando tudo)... -1 e 5. A gente sabe que iria fatorar para "(x - 1)‧(x + 5)". Dá para verificar que, se você fosse multiplicar, obteria "x² + 4x - 5". Você pode até mesmo ver isso aqui: "(x)‧(x)" é "x²”, "-x + 5x" vai ser "4x", e "(-1)‧(5)" são -5. Exatamente! Tudo é uma revisão para nós até esse ponto. Agora, quero fazer algo um pouco mais interessante. Digamos que queremos fatorar "x² + 4xy - 5y²". Primeiro, parece realmente desencorajador; de repente, introduzi um "y" e um "y²" aqui e tenho duas variáveis, como eu resolvo? Mas o importante é só respirar fundo e perceber que não estamos fundamentalmente fazendo algo diferente. Agora, a única coisa bem complicadinha que eu fiz foi quando escrevi desse jeito. E te encorajo a pausar por aqui tentar sozinho antes de eu dar mais explicações. O que fiz de complicado foi que escrevi o "x" antes do "y" (e aquilo tende a ser o convencionado; você só os inscreve em ordem alfabética), mas, como queremos deixar as duas expressões parecidas e fazer com que a segunda seja semelhante à primeira, basta apenas trocar "x" e "y” de lugar, porque, então, nós poderemos escrevê-lo como “x² + 4yx - 5y²". Agora, fica mais claro que esse termo "4y” (esse bem aqui) é o coeficiente do termo "x", da mesma forma que 4 era o coeficiente do "x" aqui, e esse "-5y²” corresponde ao -5 aqui; então, podemos seguir a mesma linha de raciocínio. Vamos pensar em dois... e agora não somente números, eles vão ter variáveis neles... vamos pensar em dois termos ou duas expressões que, se eu as multiplicar, terei "-5y²", e quando eu pego a soma, eu tenho "4y". Vamos pensar sobre como poderíamos fazer. Uma opção seria, positivo, vamos dizer "+y" e "-5y”. Onde isso nos levaria? “(+y)‧(-5y)", de fato, seria igual a "-5y²". Mas, então, se eu somar "y" a "-5y", vou obter "-4y", então isso não funciona. Vamos ver se trocarmos os dois sinais. Que tal "-y" e "+5y"? Aqui, se eu pegar o produto de "-y” e "5y", esse será "-5y²". E, se eu somar "-y" e "5y”, o resultado será "+4y". Então, agora, a gente sabe como fatorá-lo. (Aí, mais uma vez, vou fazer da mesma cor, esse eu vou colocar em roxo mais claro e esse num roxo mais escuro). Agora, a gente já sabe fatorar isso, e isso é exatamente a mesma forma como fizemos aqui (é exatamente a mesma ideia). Esse vai ser "x". Em vez de apenas um -1, agora que fatoramos aqui, a gente fatora em um -1 e 5. Aqui, fatoramos em um "-y" e "5y". Em vez de um -1, vai ser um "-y". "(x - y)‧(x + 5y)". E dá para verificar quando multiplica (de fato, torna igual a "x² + 4xy - 5y"). Deixa eu fazer aquilo, daí a gente vai saber com certeza. “(x)‧(x)” vai ser "x²"... (deixa eu fazer tudo numa cor diferente)... "(x)‧(5y)" vai ser mais "+5xy", Aí, "(-y)‧(x)" é "-yx". E, aí, finalmente... (eu estou ficando sem cores)... se pegar "(-y)‧(5y)", é "-5y²". Agora, só tem que simplificar; tem que combinar esses dois meio termos. E, primeiro, parece um pouco... isso é "xy" e isso é "yx", o que não é tão óbvio, mas só tem que reescrever... é igual a "5yx - yx". E, aqui, você fala: "olha, tem o '5yx' e vou subtrair o 'yx', então vou ter '4yx' (apenas '4yx'). Tenho '5yx', tiro o outro 'yx', vou ter '4yx'. Então, vai ser 'x² + 4yx - 5y²' e fica tudo certo".