Fatoração de equações do segundo grau com duas variáveis: agrupamento

RKA - Pedem para a gente fatorar a expressão por agrupamento. Agora que mencionaram um agrupamento, veremos do que se trata. Mas a gente vai ver bem rapidamente que devemos fazer esse agrupamento, porque não podemos simplesmente fatorar essa expressão. Se observar esses, cada um desses termos, todos, exceto um, são divisíveis por 5. Assim, não pode, simplesmente, fatorar por 5. Nem todos esses termos são divisíveis por "r" ou "s". Esse é divisível apenas por "r" e há somente um divisível por "s" e esse não é divisível por nenhum. Não há fator comum em todos esses quatro termos. É por isso que precisamos agrupá-los em grupos que tem fatores comuns, e ver se isso simplifica tudo. E é preciso ser um pouco artista para reconhecer quando pode fatorar por agrupamento. Mas, esse problema já foi esclarecido. Se observar esses dois primeiros termos aqui, temos um "5rs" e um "25r". Esses dois, claramente, possuem alguns fatores comuns. Os dois são divisíveis por 5, os dois são divisíveis por "r". Se eu quisesse fatorar esse aqui ou se quisesse reescrevê-lo como um produto de duas expressões, como poderia escrevê-lo? Poderia escrevê-lo como um produto de "5r" vezes, quanto é "5rs" dividido por "5r"? Bom, ainda resta um "s". Tem um "s" ali. Mas, quanto é "25r" dividido por "5r"? Bom, 25 dividido por 5 é 5, e "r" dividido por "r" é 1. "25r" dividido por "5r" é 5. Esses dois primeiros termos podem ser fatorados nessas duas expressões. Vejamos esses dois outros termos. Definitivamente, eles possuem um fator comum. Você tem um "-3" ou "+3" comum aos dois. Vamos ficar com o "-3". Nossa meta é realmente fatorar para a gente obter "-3" vezes (esperamos algo muito semelhante) com "s + 5". E já pode estar visualizando que será fatorado em "s" mais ele (cinco). Vamos fatorar por "-3". Esses dois termos, pode reescrevê-los como "-3" vezes... quanto é "-3s" dividido por "-3"? Sobrará apenas "1s". E quanto é "-15" dividido por "-3"? Isso é exatamente "+5". E, bem assim, nós os agrupamos, e a gente consegue fatorar cada um desses grupos. E algo interessante pode vir à sua mente. Você sempre pode verificar se sua fatoração deu certo distribuindo cada uma dessas expressões. Distribuindo o "5r" vezes "s + 5" e o "-3" vezes "s + 5", você obterá exatamente isso. Mas, talvez, algo tenha acabado de vir à sua mente. Você tem "5r" vezes "s + 5" e "-3" vezes "s + 5". Agora, essa expressão, temos dois termos em vez de quatro, certo? Esse é um termo e esse é outro termo. E os dois têm "s + 5" como fator comum. Agora, podemos fatorar isso por "s + 5". Tudo isso pode ser reescrito como: "s + 5" vezes "5r", certo? Se pegar "5r" vezes "s + 5" e fatorar por "s + 5", você terá exatamente "5r". De forma semelhante, se pegar "-3" vezes "s + 5" e fatorar por "s + 5", ou dividir por "s + 5", terá "-3" bem assim, e terminamos. Fatoramos essa expressão por agrupamento. Fica "s + 5" vezes "5r - 3". Pode verificar fazendo a multiplicação. Se distribuir "s + 5" em cada um desses termos, obterá esta expressão aqui. E, se distribuir o "5r" por ali, obterá aquela expressão. Se distribuir o "- 3", terá aquela expressão. Isso simplifica aquilo e fatoramos.