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Fatoração por agrupamento

Aprenda sobre um método de fatoração chamado "agrupamento." Por exemplo, podemos usar o agrupamento para escrever 2x²+8x+3x+12 como (2x+3)(x+4).

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. Isto reverte o processo de multiplicação polinomial.
Já vimos vários exemplos de fatoração. Entretanto, neste artigo, você deve estar especialmente familiarizado com a fatoração de fatores comuns usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 6x2+4x=2x(3x+2) .

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, aprenderemos como usar um método de fatoração chamado agrupamento.

Exemplo 1: fatoração de 2x2+8x+3x+12

Primeiro, perceba que não existe nenhum fator comum a todos os termos em 2x2+8x+3x+12. Entretanto, se agruparmos os dois primeiros termos e os dois últimos termos, cada grupo terá seu próprio MDC, ou máximo divisor comum:
(2x2+8x)primeiro agrupamento+(3x+12)segundo agrupamento
Em particular, há um MDC de 2x no primeiro agrupamento e um MDC de 3 no segundo agrupamento. Podemos colocá-los em evidência para obter a seguinte expressão:
2x(x+4)+3(x+4)
Perceba que isso revela ainda outro fator comum entre os dois termos: x+4. Podemos usar a propriedade distributiva para fatorar esse fator comum.
2x(x+4)+3(x+4)=(x+4)(2x+3)
Como o polinômio agora é expresso como um produto de dois binômios, ele está na forma fatorada. Podemos conferir nosso trabalho multiplicando e comparando com o polinômio original.

Exemplo 2: fatoração de 3x2+6x+4x+8

Vamos resumir o que foi feito anteriormente fatorando outro polinômio.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Termos agrupados=3x(x+2)+4(x+2)Fatore os MDCs=3x(x+2)+4(x+2)Fator comum!=(x+2)(3x+4)Fatore x+2
A forma fatorada é (x+2)(3x+4).

Teste seu conhecimento

1) Fatore 9x2+6x+12x+8.
Escolha 1 resposta:

2) Fatore 5x2+10x+2x+4.

3) Fatore 8x2+6x+4x+3.

Exemplo 3: fatoração de 3x26x4x+8

Deve-se tomar cuidado extra no uso do método do agrupamento para fatorar polinômios com coeficientes negativos.
Por exemplo, os passos abaixo podem ser usados para fatorar 3x26x4x+8.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)Agrupe os termos(2)=3x(x2)+(4)(x2)Coloque os MDC em evidência(3)=3x(x2)4(x2)Simplifique(4)=3x(x2)4(x2)Fator comum!(5)=(x2)(3x4)Coloque x2 em evidência
A forma fatorada do polinômio é (x2)(3x4). Podemos multiplicar os binômios para conferir nosso trabalho.
Algumas das etapas acima podem parecer diferentes daquelas que você viu no primeiro exemplo, então você pode ter algumas perguntas.
De onde veio o sinal de "+" entre os agrupamentos?
Na etapa (1), o sinal de "+" foi adicionado entre os agrupamentos (3x26x) e (4x+8). Isto porque o terceiro termo (4x) é negativo, e o sinal do termo deve ser incluído dentro do agrupamento.
Manter o sinal de menos fora do segundo agrupamento é uma pegadinha. Por exemplo, um erro comum é agrupar 3x26x4x+8 como (3x26x)(4x+8). Este agrupamento, entretanto, é simplificado para 3x26x4x8, o que não é igual à expressão original.
Por que colocar 4, ao invés de 4, em evidência?
Na etapa (2), colocamos um 4 em evidência para revelar um fator comum de (x2) entre os termos. Se, ao invés disso, tivéssemos colocado um 4 positivo em evidência, não obteríamos aquele fator binomial comum visto acima:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
Quando o termo principal em um grupo for negativo, frequentemente precisaremos colocar um fator comum negativo em evidência.

Teste seu conhecimento

4) Fatore 2x23x4x+6.
Escolha 1 resposta:

5) Fatore 3x2+3x10x10.

6) Fatore 3x2+6xx2.

Desafio

7*) Fatore 2x3+10x2+3x+15.

Quando podemos usar o método de agrupamento?

O método do agrupamento pode ser utilizado para fatorar polinômios sempre que um fator comum existir entre os agrupamentos.
Por exemplo, podemos utilizar o método do agrupamento para fatorar 3x2+9x+2x+6, já que ele pode ser escrito da seguinte maneira:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
Não podemos, no entanto, usar o método do agrupamento para fatorar 2x2+3x+4x+12 porque colocar o MDC em evidência nos dois agrupamentos não gera um fator comum!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

Uso de agrupamento para fatorar trinômios

Você também pode utilizar o agrupamento para fatorar certas expressões do segundo grau compostas por três termos (trinômios), como 2x2+7x+3. Isto porque podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
Em seguida, podemos utilizar o agrupamento para fatorar 2x2+1x+6x+3 como (x+3)(2x+1).
Para saber mais sobre como fatorar trinômios de segundo grau como esses usando o método de agrupamento, confira nosso próximo artigo.

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