Odeio matematica, quem foi o besta que colocou letra para piorar?

François Viète nasceu em 1540, na França, e morreu em 1603. Apaixonado por álgebra, esse matemático francês foi responsável pela introdução da primeira notação algébrica sistematizada, além de contribuir para a teoria das equações.

Conteúdo principal

Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10

Lição 15: Fatoração de equações do segundo grau por meio de agrupamento

Fatoração por agrupamento

Google Sala de Aula

Aprenda sobre um método de fatoração chamado "agrupamento." Por exemplo, podemos usar o agrupamento para escrever 2x²+8x+3x+12 como (2x+3)(x+4).

Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição

Fatorar um polinômio envolve escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. Isto reverte o processo de multiplicação polinomial.

Já vimos vários exemplos de fatoração. Entretanto, neste artigo, você deve estar especialmente familiarizado com a fatoração de fatores comuns usando a propriedade distributiva. Por exemplo,

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, aprenderemos como usar um método de fatoração chamado agrupamento.

Exemplo 1: fatoração de $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Primeiro, perceba que não existe nenhum fator comum a todos os termos em

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

. Entretanto, se agruparmos os dois primeiros termos e os dois últimos termos, cada grupo terá seu próprio MDC, ou máximo divisor comum:

\underset{primeiro agrupamento}{\underset{⏟}{(2 x^{2} + 8 x)}} + \underset{segundo agrupamento}{\underset{⏟}{(3 x + 12)}}

Em particular, há um MDC de

2 x

no primeiro agrupamento e um MDC de

3

no segundo agrupamento. Podemos colocá-los em evidência para obter a seguinte expressão:

2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

[Como você fez isso?]

Perceba que isso revela ainda outro fator comum entre os dois termos:

x + 4

. Podemos usar a propriedade distributiva para fatorar esse fator comum.

2 x (x + 4) + 3 (x + 4) = (x + 4) (2 x + 3)

Como o polinômio agora é expresso como um produto de dois binômios, ele está na forma fatorada. Podemos conferir nosso trabalho multiplicando e comparando com o polinômio original.

[Gostaria de ver isso!]

Exemplo 2: fatoração de $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Vamos resumir o que foi feito anteriormente fatorando outro polinômio.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Termos agrupados \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Fatore os MDCs \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Fator comum! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Fatore x + 2 \end{aligned}

A forma fatorada é

(x + 2) (3 x + 4)

Teste seu conhecimento

1) Fatore $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

2) Fatore $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

3) Fatore $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Exemplo 3: fatoração de $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Deve-se tomar cuidado extra no uso do método do agrupamento para fatorar polinômios com coeficientes negativos.

Por exemplo, os passos abaixo podem ser usados para fatorar

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Agrupe os termos \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Coloque os MDC em evidência \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Simplifique \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Fator comum! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Coloque x - 2 em evidência \end{aligned}

A forma fatorada do polinômio é

(x - 2) (3 x - 4)

. Podemos multiplicar os binômios para conferir nosso trabalho.

[Gostaria de ver isso!]

Algumas das etapas acima podem parecer diferentes daquelas que você viu no primeiro exemplo, então você pode ter algumas perguntas.

De onde veio o sinal de "+" entre os agrupamentos?

Na etapa

(1)

, o sinal de "+" foi adicionado entre os agrupamentos

(3 x^{2} - 6 x)

(- 4 x + 8)

. Isto porque o terceiro termo

(- 4 x)

é negativo, e o sinal do termo deve ser incluído dentro do agrupamento.

Manter o sinal de menos fora do segundo agrupamento é uma pegadinha. Por exemplo, um erro comum é agrupar

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

como

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

. Este agrupamento, entretanto, é simplificado para

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, o que não é igual à expressão original.

[Posso ver isto?]

Por que colocar $- 4$ ‍, ao invés de $4$ ‍, em evidência?

Na etapa

(2)

, colocamos um

- 4

em evidência para revelar um fator comum de

(x - 2)

entre os termos. Se, ao invés disso, tivéssemos colocado um

4

positivo em evidência, não obteríamos aquele fator binomial comum visto acima:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Quando o termo principal em um grupo for negativo, frequentemente precisaremos colocar um fator comum negativo em evidência.

Teste seu conhecimento

4) Fatore $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatore $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

6) Fatore $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Desafio

7*) Fatore $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Quando podemos usar o método de agrupamento?

O método do agrupamento pode ser utilizado para fatorar polinômios sempre que um fator comum existir entre os agrupamentos.

Por exemplo, podemos utilizar o método do agrupamento para fatorar

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

, já que ele pode ser escrito da seguinte maneira:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Não podemos, no entanto, usar o método do agrupamento para fatorar

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

porque colocar o MDC em evidência nos dois agrupamentos não gera um fator comum!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Uso de agrupamento para fatorar trinômios

Você também pode utilizar o agrupamento para fatorar certas expressões do segundo grau compostas por três termos (trinômios), como

2 x^{2} + 7 x + 3

. Isto porque podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Em seguida, podemos utilizar o agrupamento para fatorar

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

como

(x + 3) (2 x + 1)

Para saber mais sobre como fatorar trinômios de segundo grau como esses usando o método de agrupamento, confira nosso próximo artigo.

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

alberton.joao
Publicado há há 6 meses. Link direto para a postagem “Odeio matematica, quem fo...” de alberton.joao
Odeio matematica, quem foi o besta que colocou letra para piorar?
Botão para a página de cadastroBotão para a página de cadastro
(2 votos)
Resposta
- andrielly.freire
  Publicado há há 6 meses. Link direto para a postagem “François Viète nasceu em ...” de andrielly.freire
  François Viète nasceu em 1540, na França, e morreu em 1603. Apaixonado por álgebra, esse matemático francês foi responsável pela introdução da primeira notação algébrica sistematizada, além de contribuir para a teoria das equações.
  Comentar sobre a postagem “François Viète nasceu em ...” de andrielly.freire
  (2 votos)
anonimus
Publicado há há 6 meses. Link direto para a postagem “muy dificil. yo no quero ...” de anonimus
muy dificil. yo no quero mas
Botão para a página de cadastroBotão para a página de cadastro
(1 voto)
Resposta
Ysaak C
Publicado há há 5 meses. Link direto para a postagem “Amei!! <3” de Ysaak C
Amei!! <3
Botão para a página de cadastroBotão para a página de cadastro
(0 votos)
Resposta