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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10

Lição 15: Fatoração de equações do segundo grau por meio de agrupamento

Fatoração de equações do segundo grau: coeficiente principal ≠ 1

Aprenda a fatorar expressões do segundo grau como o produto de dois binômios lineares. Por exemplo, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

O que você precisa saber antes desta lição

O método de agrupamento pode ser usado para fatorar polinômios com

4

termos isolando os fatores comuns várias vezes. Se isso é novo para você, confira nosso artigo Introdução à fatoração por agrupamento.

Também recomendamos que você revise nosso artigo sobre fatoração de equações de segundo grau com coeficiente principal igual a 1 antes de continuar.

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, usaremos o agrupamento para fatorar expressões do segundo grau com um coeficiente principal diferente de

1

, como

2 x^{2} + 7 x + 3

Exemplo 1: Fatoração de $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

Como o coeficiente principal de

(2 x^{2} + 7 x + 3)

2

, não podemos usar o método de soma-produto para fatorar a expressão do segundo grau.

Ao invés disso, para fatorar

2 x^{2} + 7 x + 3

, precisamos encontrar dois números inteiros cujo produto seja

2 \cdot 3 = 6

(o coeficiente principal vezes o termo constante) e cuja soma seja

7

(o coeficiente de

x

Como

1 \cdot 6 = 6

1 + 6 = 7

, os dois números são

1

6

[Como encontramos esses números?]

Estes dois números nos dizem como dividir o termo

x

na expressão original. Portanto, podemos expressar nosso polinômio como

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

Agora podemos usar o agrupamento para fatorar o polinômio:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Agrupe os termos \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Coloque os MDC em evidência \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Fator comum! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & Isole 2 x + 1 \end{aligned}

A forma fatorada é

(2 x + 1) (x + 3)

[E se tivéssemos agrupado o polinômio em uma ordem diferente?]

Podemos conferir nosso trabalho mostrando que a multiplicação dos fatores nos fornece a expressão original

2 x^{2} + 7 x + 3

[Gostaria de ver isso!]

Resumo

Em geral, podemos usar as seguintes etapas para fatorar uma expressão do segundo grau da forma

a x^{2} + b x + c

Comece encontrando dois números cuja multiplicação seja $a c$ ‍ e cuja soma seja $b$ ‍.
Use estes números para dividir o termo $x$ ‍.
Use o agrupamento para fatorar a expressão do segundo grau.

Teste seu conhecimento

1) Fatore $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

2) Fatore $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Exemplo 2: Fatoração de $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

Para fatorar

6 x^{2} - 5 x - 4

, precisamos encontrar dois números inteiros cujo produto seja

6 \cdot (- 4) = - 24

e cuja soma seja

- 5

Como

3 \cdot (- 8) = - 24

3 + (- 8) = - 5

, os números são

3

- 8

[Como encontramos esses valores?]

Podemos agora escrever o termo

- 5 x

como a soma de

3 x

- 8 x

e usar o agrupamento para fatorar o polinômio:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Agrupe os termos \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & Coloque os MDC em evidência \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Simplifique \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Fator comum! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & Isole 2 x + 1 \end{aligned}$ ‍

A forma fatorada é

(2 x + 1) (3 x - 4)

Podemos conferir nosso trabalho mostrando que a multiplicação dos fatores nos fornece a expressão original

6 x^{2} - 5 x - 4

[Gostaria de ver isso!]

Tome nota: Na etapa

(1)

acima, note que, pelo fato de o terceiro termo ser negativo, um "+" foi inserido entre os agrupamentos para manter a expressão equivalente à original. Igualmente, na etapa

(2)

, foi necessário colocar em evidência um MDC negativo do segundo agrupamento para revelar um fator comum de

2 x + 1

. Tome cuidado com os sinais!

Teste seu conhecimento

3) Fatore $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

4) Fatore $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatore $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Quando esse método é útil?

Claramente, este método é útil para fatorar expressões do segundo grau da forma

a x^{2} + b x + c

, mesmo quando

a \neq 1

Porém, nem sempre é possível fatorar uma expressão do segundo grau dessa forma usando este método.

Por exemplo, vamos pegar a expressão

2 x^{2} + 2 x + 1

. Para fatorá-la, precisamos encontrar dois números inteiros cujo produto seja

2 \cdot 1 = 2

e cuja soma seja

2

. Tente o quanto quiser, não será possível encontrar estes dois números inteiros.

Portanto, nosso método não funciona para

2 x^{2} + 2 x + 1

, e para uma série de outras expressões do segundo grau.

No entanto, vale lembrar que, se este método não funcionar, significa que a expressão não poderá ser fatorada como

(A x + B) (C x + D)

em que

A

B

C

D

são números inteiros.

Por que esse método funciona?

Vamos nos aprofundar no motivo pelo qual este é um método bem sucedido. Teremos que usar um bocado de letras, mas, por favor, fique com a gente!

Suponha que a expressão genérica do segundo grau

a x^{2} + b x + c

possa ser fatorada como

(A x + B) (C x + D)

com números inteiros

A

B

C

D

Quando expandimos os parênteses, obtemos a expressão do segundo grau

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

[Quero ver o processo de expansão completo!]

Como esta expressão é equivalente a

a x^{2} + b x + c

, os coeficientes correspondentes nas duas expressões devem ser iguais! Isto nos fornece a seguinte relação entre todas as letras desconhecidas:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Agora, vamos definir

m = B C

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

De acordo com esta definição...

m + n = B C + A D = b

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

E, sendo assim,

B C

A D

são os dois números inteiros que sempre procuramos quando usamos este método de fatoração!

A próxima etapa neste método, após encontrar

m

n

, é separar o coeficiente de

x

(b)

de acordo com

m

n

e fatorar usando agrupamento.

De fato, se dividirmos o termo

x

(B C + A D) x

(B C) x + (A D) x

, seremos capazes de usar o agrupamento para fatorar nossa expressão de volta para

(A x + B) (C x + D)

[Gostaria de ver isso!]

Concluindo, nesta seção nós...

começamos com a expressão geral expandida $a x^{2} + b x + c$ ‍ e sua fatoração geral $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
fomos capazes de encontrar dois números, $m$ ‍ e $n$ ‍, tais que $m n = a c$ ‍ e $m + n = b$ ‍ $($ ‍fizemos isso definindo $m = B C$ ‍ e $n = A D)$ ‍,
dividimos o termo $x$ ‍ $b x$ ‍ em $m x + n x$ ‍, e fomos capazes de fatorar a expressão expandida de volta a $(A x + B) (C x + D)$ ‍.