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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10
Lição 32: Como encontrar os zeros dos polinômiosComo encontrar os zeros dos polinômios (2 de 2)
Neste vídeo, usamos um método alternativo para encontrar os zeros de p(x)=x⁵+9x³-2x³-18x=0.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - No vídeo anterior, fizemos
a seguinte pergunta: por que não subtraímos estas duas parcelas? Explicamos, na ocasião, que foi para colocar em evidência x² + 9. E, com isso, fatorando o polinômio de tal forma que o polinômio de quinto grau
fica fácil de resolver, ou pelo menos mais tranquilo para
você encontrar as raízes. Neste vídeo, vamos fazer a soma e resolver de outra forma. Portanto, vamos fazer: P(x) = x⁵ e vamos somar: 9x³ - 2x³ fica mais 7x³, menos 18x, igual a zero. Nós queremos colocar em evidência, queremos colocar em fatores para que não necessitemos resolver
uma equação de quinto grau. Então, o que nós podemos fazer? A primeira coisa que temos que fazer
é colocar o "x" em evidência. Ou seja, este "x" em evidência nós temos
que colocar, pois é uma raiz. Todas parcelas estão sendo
multiplicadas por "x", portanto, x = 0. Este polinômio dá zero, ou seja, "x"
é a solução desta equação. Temos: (x⁴ + 7x² - 18) = 0. Ou seja, para que este polinômio
chegue a ser zero, ou este lado é zero ou este lado
é igual a zero. Nós identificamos aqui
uma equação biquadrada. Então, vamos lembrar um pouco
de produto notável. Se você tem (x + a) vezes (x + b), isso fica igual a x² + (a + b)x + ab. Você pode estar um pouco intrigado porque nós aqui temos x², e não x⁴. mas, como se trata de uma
equação biquadrada (porque eu quero que este termo
seja igual a zero), podemos adequá-la e fazer: no lugar de "x", colocar (x² + a), vezes (x² + b). Com isso, nós ficamos com: x⁴ + (a + b)x² + ab. Agora podemos identificar os coeficientes e o que significa cada um, ou seja, nós podemos escrever esta equação
através deste produto notável. Portanto, nós temos: (a + b) vai ser o 7,
isto é (a + b), e o -18 vai ser o (a vezes b). Portanto, quais são os números
que, somados, dão 7 e, multiplicados, dão -18? Primeiro, eles devem ter sinais contrários. Segundo, o valor positivo, em módulo, deve ser maior do que o valor
negativo em módulo. Pois, quando você subtrai,
obtém um número positivo. Eu chutaria aqui 9 e -2. 9 - 2 = 7 e 9 vezes -2 = -18. Portanto, eu posso escrever
este polinômio da seguinte forma: vou repetir o "x", vou colocar aqui o igual para saber
que estamos falando que é tudo igual. Vou colocar o x² + a, que seria x² + 9, vezes x² + b, que seria x² - 2. Isso deve ser igual a zero. Obviamente, nós temos que, nas raízes, basta que este fator seja igual a zero ou este seja igual a zero,
ou este seja igual a zero. Nós vimos que este fator leva
às raízes complexas e estes dois fatores, o "x" e o "x² - 2," levam a três raízes: uma é zero, uma é menos raiz de 2
e a outra é mais raiz de 2. O mais importante aqui
é você verificar que, não importa a maneira como nós fizemos
ou resolvemos a equação, todos eles têm as mesmas
quantidades de interseções, as mesmas raízes, o mesmo formato. Obviamente, são os mesmos polinômios. Ou seja, esta é outra forma de resolvermos
a equação polinomial que resolvemos no vídeo anterior.