Como encontrar os zeros dos polinômios (exemplo 2)

RKA - Temos um polinômio de grau 4 multiplicado por um polinômio de primeiro grau, mas elevado à 2ª... Quando você multiplicar tudo isso aqui, vai ter um polinômio de grau 6. Queremos que seja igual a 0. Ou seja, queremos as raízes desse polinômio. Para isso, vamos fazer algumas evidenciações. Esse fator... Fica fácil nós colocarmos qual é a raiz, basta colocar 3x menos 8 igual a 0. Torna esse fator igual a 0, elevado ao quadrado é igual a 0. Multiplicado por qualquer coisa vai dar 0. E, agora, nesse outro polinômio, vamos identificar algumas características nas quais possamos fazer as evidências. 40 é 5 vezes maior que 8. Temos: 15 é 5 vezes maior do que 3. Então, aqui podemos desconfiar que podemos colocar 5 em evidência. E temos, 15 dividido por 5, nós temos 3x menos... 40 dividido por 5 igual a 8. Desse lado de cá, nós temos o 3 e temos 8 já. Se colocarmos x elevado à 3ª em evidência, vamos ter 3x elevado à 4ª dividido por x elevado à 3ª igual a 3x, menos 8x elevado à 3ª divido por x elevado à 3ª igual a 8. Agora vemos outro fator em comum nessa soma. Vamos colocar aqui o parêntese. Vamos repetir o 3x menos 8 elevado ao quadrado, igualar tudo isso a 0. E isso aqui é nosso P(x). Agora descobrimos outro padrão. Ou seja, o novo fator em comum nessa soma. 3x menos 8. Podemos colocar 3x menos 8 em evidência. Então, ficamos com 3x menos 8, em evidência, multiplicado por... X à 3ª vezes 3x menos 8 dividido por 3x menos 8, vamos ter x à 3ª. 5 vezes 3x menos 8 dividido por 3x menos 8, vamos ter mais 5. E agora vamos repetir 3x menos 8. Tivemos um grande avanço, pois conseguimos colocar nosso P(x) em fatores. E temos aqui um de 3º grau. São todos facilmente resolvíveis. E temos também esse fator que é igual a esse, pelo menos a base é igual. Portanto, podemos repetir a base e somar os expoentes, e colocar 3x menos 8 dessa forma: 3x menos 8 elevado à 3ª, vezes x à 3ª mais 5. Então, queremos as raízes. Como queremos as raízes, precisamos que esse fator seja igual a 0, ou esse fator seja igual a 0. Para que esse fator seja igual a 0, vamos fazer 3x menos 8 é igual a 0. Temos 3x igual a 8. x igual a 8 sobre 3, que é o número que fica, entre 2 e 3, mais próximo de 3. Essa aqui é uma raiz. Na realidade, essa aqui é uma raiz de multiplicidade 3. A multiplicidade 3 significa que, na realidade, nós temos três raízes reais aqui. Esse polinômio, elevado à 3ª, pode ser escrito da seguinte forma: 3x menos 8 vezes 3x menos 8 vezes 3x menos 8 vezes x à 3ª mais 5. Ou seja, nós temos, na realidade, 3 raízes que chamamos de raízes de multiplicidade 3. 3 raízes. São iguais. Ou seja, quando colocarmos no conjunto solução, vamos colocar apenas uma vez. Não precisa repetir os elementos no conjunto solução, mas ela representa 3 raízes reais. Desse lado de cá, vamos fazer x à 3ª mais 5 igual a 0. Ou seja... x à 3ª mais 5 igual a 0. Nós temos que x à 3ª é igual a -5. E x é igual à raiz cúbica de -5. Então, qual é a raiz cúbica de -5? Temos 5... 3, inverte. Elevado a 1,71. Ou seja, -1,71 no caso aqui. Nós temos, então, a raiz de 3 menos 1,71 aproximadamente. Aí, você vai dizer: "Ei, espera aí! Mas nós não temos um polinômio de 6º grau? Não temos que ter seis raízes?" Três raízes estão aqui. Uma está aqui, que é real. E as outras duas são pares conjugados que, elevados à 3ª, resulta em -5. Portanto, verifique no gráfico o que está acontecendo com nossa função. Ela passa pelo ponto -1,71, depois ela passa pelo ponto 8 sobre 3. Voltando para a nossa solução, nós temos uma solução que é a raiz de -5... 1,71. Três soluções que são iguais a 8 sobre 3. Todas as quatro, pertencentes ao conjunto dos reais. Temos mais duas raízes que pertencem a conjugados complexos que vamos ver em vídeos posteriores.