Polinômios do segundo grau e o Teorema Fundamental da Álgebra

RKA - Nesse vídeo nós queremos encontrar as raízes reais ou não, que satisfazem essa função daqui que intercepta o eixo "x" dessa função daqui. E, de acordo com o teorema fundamental da álgebra que a gente viu no último vídeo, existem duas raízes, porque esse grau é 2, existem duas raízes que vão fazer com que essa função seja igual a zero, que intercepta no eixo "x". Então, para a gente descobri-las não existe agora, olhando assim, não existe nenhuma maneira óbvia de fazer isso, então a gente vai ter que usar a famosa fórmula. E, para começar, a gente pode escrever, reescrever essa função daqui como 5x² + 6x + 5 e igualar isso daqui a zero para descobrir quais pontos ela se iguala a zero. Agora a gente vai precisar de uma outra função que é: delta (Δ) igual a "b" ao quadrado menos 4 que multiplica "a", que multiplica "c". E a gente sabe que isso daqui é o "a", isso daqui é o "b" e isso daqui é o "c". Então, isso daqui, o Δ, ele é chamado de discriminante da função. Então a gente vai começar a calcular isso daqui, o delta vai ser igual a: b² vai dar 6², deixa eu fazer tudo com cores diferentes aqui. 6² menos 4 vezes o meu "a" que é 5, vezes o meu "c" que vai ser 5 também. E isso daqui vai dar 36, aqui é 6², menos 4 vezes 25 dá 100, menos 100. E isso daqui vai dar -64. E agora a gente vai precisar de outra fórmula aqui, a gente vai depois, quando a gente usar essa fórmula, a gente vai depois precisar desse discriminante desse Δ aqui. E a fórmula é "x" igual a "-b" mais ou menos a raiz quadrada do discriminante Δ, isso tudo dividido por duas vezes o valor de "a". Então, agora gente pode trocar esse "b", como "b" é 6 aqui a gente vai botar -6. E isso aqui vai estar mais ou menos, vai ser mais ou menos a raiz quadrada de -64, isso tudo dividido por duas vezes o "a" que vai ser duas vezes 5, que vai dar 10. E agora a gente vai precisar tirar uma raiz quadrada de um número imaginário, de um número complexo. E isso daqui vai dar para nós duas raízes imaginárias. Então, se a gente for resolver isso daqui, a gente vai ficar com um -6 mais ou menos "8i", deixa eu só fazer esse "i" de uma cor diferente, 8i porque a raiz quadrada do número real, no caso vai ser 8, como se fosse a raiz quadrada de 64 mais um componente imaginário que é "i". Então, vai dar 8i e isso tudo dividido, vai ser dividido por duas vezes o "a" que vai dar 10. E agora só vou tentar simplificar isso aqui, eu posso simplificar dividir tudo por 2, todos os números são divisíveis por 2, então eu vou ter uma raiz que eu vou chamar de "x₁", que vai ser "-3 + 4i / 5" e outra raiz que eu vou chamar de "x₂" que vai ser "-3 - 4i / 5". E agora eu quero verificar se essa função daqui realmente não intercepta o eixo "x", porque tem essas partes imaginárias na raiz. E, para isso eu vou pegar minha calculadora, eu vou botar aqui essa mesma função aqui de cima, então 5x² mais 6x + 5. E agora vou pedir para a calculadora traçar esse gráfico para mim, cadê a função... aqui. E aí está justamente como a gente esperava, essa função não intercepta o eixo real "x". Então é isso, espero que esse vídeo tenha ajudado vocês, e até o próximo vídeo.