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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10

Lição 35: Gráficos de polinômios

Gráficos de polinômios

Analise polinômios para traçar seus gráficos.

Conceitos com os quais você deve estar familiarizado antes de iniciar esta lição

O comportamento final de uma função f descreve o comportamento de seu gráfico nas "extremidades" do eixo x. Algebricamente, o comportamento final é determinado pelas duas questões a seguir:

Conforme x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis se aproxima do que?
Conforme x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis se aproxima do que?

Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre o comportamento final de polinômios.

As raízes de uma função f correspondem às interceptações em x de seu gráfico. Se f tem uma raiz de multiplicidade ímpar, seu gráfico vai cruzar o eixo x naquele valor de x. Se f tem uma raiz de multiplicidade par, seu gráfico vai tocar o eixo x naquele ponto.

Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre raízes de polinômios.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, vamos usar as características acima para analisar e esboçar gráficos de polinômios. Então, usaremos o esboço para encontrar os intervalos positivo e negativo dos polinômios.

Análise de funções polinomiais

Agora, vamos analisar várias características do gráfico do polinômio f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

Como encontrar a interceptação em y

Para encontrar a interceptação em y do gráfico de f, podemos calcular f, left parenthesis, 0, right parenthesis.

$\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}$

A interceptação em y do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis é left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.

Como encontrar as interceptações em x

Para encontrar as interceptações em x, podemos resolver a equação f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.

$\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}$
$\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{ou}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{Propriedade do produto das raízes}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{ou}\qquad x&=-2\end{aligned}$

As interceptações em x do gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis são left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.

Nosso trabalho também mostra que start fraction, 2, divided by, 3, end fraction é uma raiz de multiplicidade 1 e que minus, 2 é uma raiz de multiplicidade 2. Isso significa que o gráfico vai cruzar o eixo x em left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis e tocar o eixo x em left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.

Como encontrar o comportamento final

Para encontrar o comportamento final de uma função, podemos examinar o termo principal quando a função estiver escrita na forma padrão.

Vamos escrever a equação na forma padrão.

$\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}$

[É necessário fazer isso?]

O termo principal do polinômio é start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10, portanto o comportamento final da função f será igual ao comportamento final de 3, x, cubed.

Como o grau é ímpar e o coeficiente principal é positivo, o comportamento final será: conforme x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity e, conforme x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Como esboçar um gráfico

Podemos usar o que descobrimos acima para esboçar um gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Vamos começar com o comportamento final:

Conforme x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
Conforme x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Isso significa que nas "extremidades", o gráfico se parecerá com o gráfico de y, equals, x, cubed.

Agora, podemos acrescentar o que sabemos sobre as interceptações em x:

O gráfico toca o eixo x em left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, uma vez que minus, 2 é uma raiz de multiplicidade par.
O gráfico cruza o eixo x em left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, já que start fraction, 2, divided by, 3, end fraction é uma raiz de multiplicidade ímpar.

Por fim, vamos terminar esse processo plotando a interceptação em y em left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis e preenchendo os espaços vazios com uma curva suave e contínua.

Embora não saibamos exatamente onde estão localizados os pontos de inflexão, ainda temos uma boa ideia da forma geral do gráfico da função!

Intervalos positivo e negativo

Agora que temos um esboço do gráfico de f, fica fácil determinar os intervalos nos quais f é positivo e aqueles nos quais ele é negativo.

Vemos que f é positivo quando x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, e negativo quando x, is less than, minus, 2 ou minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Teste seus conhecimentos

1) Agora você vai trabalhar sozinho(a) em um esboço de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis.

a) Qual é a interceptação em y do gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
left parenthesis, 0,
Sua resposta deve ser
um número inteiro, como 6
uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
um número decimal exato, como 0, comma, 75
um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

[Preciso de ajuda!]

b) Qual é o comportamento final do gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Conforme x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity e, conforme x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha B)
Conforme x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity e, conforme x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
(Escolha C)
Conforme x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity e, conforme x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Escolha D)
Conforme x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity e, conforme x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

[Preciso de ajuda!]

c) Quais são as interceptações em x do gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 5, comma, 0, right parenthesis
(Escolha B)
left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, minus, 5, comma, 0, right parenthesis

[Preciso de ajuda!]

d) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
(Escolha B)
(Escolha C)
(Escolha D)

[Preciso de ajuda!]

2) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared