Introdução aos polinômios

RKA - Neste vídeo, quero falar um pouco sobre polinômios. E "polinômios" é uma palavra que parece complicada, mas, na verdade, é bastante simples. Bom, o prefixo "poli" vem do grego e significa "muitos", e o sufixo "nômios" vem do latim e significa "nomes". Mas, aqui para nós, em vez de "nomes", vamos usar a palavra "termos". Eu já vou explicar o porquê disso. Mas antes vamos dar uma olhada em alguns exemplos, para ficar uma coisa mais tangível para nós. Por exemplo, se eu tivesse "10x⁷" menos "9x²" mais "15x³" mais 9. Isto é um polinômio. Ou se tivesse "9a²" menos 5, também é um polinômio. Mesmo se houver um número sozinho, como o 6, isso oficialmente será considerado um polinômio. Ou, aqui,"7y²" menos "3y" mais "π"; cada um destes é um polinômio. Vamos a um exemplo também do que não é um polinômio. Se eu tivesse "10x⁷", ou melhor, se fosse "10x⁻⁷", deixe-me repetir aqui se fosse "10x⁻⁷" menos "9x²" mais "15x³" mais 9, isto já não seria um polinômio, porque esta potência é negativa. Então, essa é uma regra, as variáveis em um polinômio estão elevadas a potências positivas, não negativas. Então, vimos que em um polinômio, uma variável não pode estar elevada à uma potência negativa, mas o que é um polinômio? Demos uma definição aqui de polinômios, "muitos termos", então, polinômio é a soma de termos, e o que são estes termos? Neste polinômio aqui, por exemplo, nós temos quatro termos: o primeiro é este, "10x⁷"; o segundo é este, "-9x²"; o terceiro é "15x³" e o último é 9. Vimos que um termo em um polinômio precisa ter uma potência positiva, ele não pode ter uma potência negativa, a variável. O que mais a gente pode identificar? Um termo sempre tem um coeficiente. Então aqui, por exemplo, no primeiro termo, que é o "10x⁷", o coeficiente vai ser o 10. É o 10. Aqui, no segundo termo, o nosso coeficiente é o 9? Não, é o "-9". E no terceiro termo vai ser o 15. Aí podemos pensar: mas no quarto termo não pode ser coeficiente, porque não tem nenhuma variável. Mas poderíamos colocar "xº". Então o 9 é o nosso quarto coeficiente neste caso. Para generalizar, um polinômio é a soma do número finito de termos, e o termo pode ser definido como um coeficiente, que pode ser representado aqui pela letra "A", multiplicado por uma variável elevada a um número inteiro e positivo. Bom, na verdade, é melhor não colocar aqui desta forma, porque o 0 não pode ser considerado um número positivo e nem negativo. Então, vamos colocar assim, um número inteiro e não negativo, não negativo, pois aí incluímos o 0 também. E a variável pode ser qualquer número pertencente aos reais. Então, pela nossa regra, isto nãopode ser considerado um polinômio, pois a variável está elevada à uma potência que não é "não negativa". Ficou complicado isso. Nesse caso aqui, é uma potência negativa. Vamos ver outro exemplo de uma situação em que não é um polinômio. Se fosse "9a1⁄2" 1 sobre 2, menos 5, seria um polinômio ou não? Não seria, porque precisamos de um número inteiro; aqui, temos uma fração. Seria a mesma coisa se fosse 9 vezes a raiz quadrada de "a" menos 5; ou se fosse, também, 9 vezes "a" elevado a (a - 5), porque aqui temos uma variável. Não é um número inteiro não negativo, é uma variável. Logo, também não seria um polinômio. Então, nada disso aqui é polinômio. Ou seja, polinômio é uma expressão que contém termos que seguem esta forma aqui: um coeficiente e uma variável elevada a um número inteiro e não negativo. Mas é possível especificar mais ainda e quero destacar alguns termos importantes. Por exemplo, quando temos um polinômio de um termo só ele é chamado de monômio. "Mono" vem de "um"; é o polinômio de um termo só. E quando é um polinômio de dois termos? Chamamos de binômio. "Bi" vem de "dois", um bimestre corresponde a dois meses; um binômio corresponde a um polinômio de dois termos. E, com certeza, você também vai ouvir falar dos trinômios, que são os polinômios que possuem três termos. E já expliquei que o 6 aqui é o coeficiente do "xº". Mas vou dar outros exemplos para ficar mais claro, como o monômio "10z¹⁵" ou, por exemplo, o coeficiente "π" vezes a variável "b⁵". Este também é um monômio, bem como todos estes outros. Outro exemplo de binômio: "3y³" mais "5y". Nós temos dois termos que seguem esta fórmula cada termo. E o trinômio segue a mesma regra: três termos, sendo cada termo composto de coeficiente variável e o expoente não negativo e inteiro. Um outro conceito importante é o grau do polinômio. Alguém pode te perguntar qual é o grau do polinômio? Ou, então, o grau de um dado termo. Grau do polinômio ou grau do termo de um polinômio. O grau de um termo é dado pelo expoente do termo. Neste polinômio aqui, o primeiro termo tem o grau 7; o segundo termo, esperem, deu um problema no computador. Continuando, o segundo termo é de segundo grau; o terceiro termo é de terceiro grau. Coincidentemente, aqui a posição do termo é igual ao seu grau; e o quarto termo falamos que tem grau zero, é um termo de grau zero. mesmo quando não aparece aqui é "xº". Vimos que o grau dos termos. E o grau do polinômio? Neste caso, aqui, é um polinômio de sétimo grau. E este polinômio aqui? É um polinômio de segundo grau; este é um de terceiro grau. Perceberam o padrão? É, simplesmente, o maior grau presente naquele polinômio. Aqui é um trinômio de segundo grau; aqui, um monômio de décimo quinto grau, e assim por diante. Outro termo que vocês podem ouvir falar é o de coeficiente principal, ou de termo principal também que, normalmente, quando alguém menciona isso, está se referindo ao primeiro termo, ao coeficiente do primeiro termo que aparece no polinômio. Então, coeficiente principal é o coeficiente do termo principal, e o termo principal é o primeiro que aparece no polinômio. E quando nós falamos em coeficiente principal, ou termo principal, estamos nos referindo ao polinômio na sua forma padrão, que nada mais é do que a ordenação dos termos do polinômio em ordem decrescente de expoentes. Então aqui, por exemplo, não temos polinômio na forma padrão porque o primeiro termo é o que tem o expoente mais alto, mas em seguida deveria vir este terceiro termo, porque 3 é maior que 2. Ficaria assim, vou fazer aqui: o primeiro termo, depois viria este aqui e depois viria este termo. Agora sim, ordenamos os termos no sentido decrescente o expoente. Então, 7 é maior que 3, que é maior que 2, que é maior que 0. E esta é a forma padrão de um polinômio. Bom, tem muita coisa neste vídeo, mas espero ter dado uma noção clara dos conceitos básicos de um polinômio. Espero que vocês tenham gostado do vídeo e até o próximo!