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Desafio de multiplicação de binômios por polinômios

Neste vídeo, calculamos os valores dos coeficientes a e b que tornam (2x+4)(5x-9)=ax²+bx-46 verdadeira para todos os valores de x.

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Transcrição de vídeo

RKA- Olá! Nesse vídeo quero que você efetue essa multiplicação entre esses dois binômios. E aí, depois, como isso daqui é igual a essa outra parte direita dessa equação, você vai descobrir qual é o valor do "a" e do "b". Então, pause o vídeo, tente fazer, que agora eu vou dar a minha solução. Aqui é o seguinte: eu tenho esse binômio aqui sendo multiplicado por esse daqui. Então, o que eu vou fazer inicialmente vai ser a propriedade distributiva, eu vou pegar esse binômio e vou distribuir, vai ser 2x+4 vezes 5x, 2x+4 vezes -9. Então, vamos reescrever aquilo ali. O que eu vou ter aqui vai ser o seguinte: 5x, que vai multiplicar por esse binômio aqui, por 2x+4. O que eu fiz aqui: 2x+4 vezes 5x, que é a mesma coisa que 5x vezes 2x+4. Agora ali: -9, que vai também multiplicar por aquele binômio, então 2x+4. E tudo isso daqui é igual a x² mais bx-36. Agora é o seguinte, posso aplicar novamente a distributiva, então vou fazer assim: 5x vezes 2x vai dar 10, 5 vezes 2 é 10, x vezes x, x². Agora 5x vezes 4, 5 vezes 4 dá 20, aqui vai dar mais 20 e esse x aqui do 5, então +20x. Agora aqui eu vou pegar esse - 9 e vou multiplicar pelo 2x, então vai dar -18x e o -9 vai multiplicar pelo 4 aqui também. Então, vai ficar menos, 9 vezes 4, 36. Agora aqui é o seguinte, será que eu posso simplificar essa expressão aqui? Será que tem termos com o mesmo grau? Tem, esses dois aqui, esses dois centrais aqui, perceba que é x e x. Então, eu posso simplificar. Logo, eu vou reescrever aquele 10x² ali, e essa parte central vou simplificar: 20x -18x, vai me dar +2x, certo? E aí, menos aquele 36 ali. E agora, eu sei que tudo isso daqui é igual à ax². aqui, certo? Estou fazendo na mesma cor, porque aqui tem o mesmo grau, x², x², e aí fica mais fácil depois mapear para descobrir o valor do "a" e do "b". mais o bx aqui, +bx também na mesma cor que o 2x. E o -36, certo? Agora fica muito fácil e muito simples descobrir o valor do "a" e do "b". Aqui, 10x² e aqui ax². Qual vai ser o valor desse "a" então? O "a" só pode ser igual a 10. O "a" só pode ser igual a 10 para que eu tenha essa mesma expressão aqui do lado esquerdo, certo? E o b? O b, seguindo a mesma linha de raciocínio, esse bx aqui é correspondente a esse 2x aqui, e aí o "b" claramente vai ser igual a quanto? Vai ser igual a dois, para que eu tenha essa mesma expressão, o b vai ser igual a 2. E o -36 aqui, você já percebe que é igual a esse -36, então, eu tenho exatamente essa igualdade, dessas duas expressões. Logo, o "a" tem que ser igual a 10 e o "b" tem que ser igual a 2. Agora, não precisaria fazer esse desenvolvimento todo aqui, se eu tivesse a seguinte percepção. Aqui, eu quero saber o valor do "a", o "a" está acompanhando o x². Qual é a única maneira de eu multiplicar termos aqui nessa expressão, neste 2 binômios e obter um termo elevado ao quadrado? X² aqui? Seria fazer 2x vezes 5x. E aí, eu teria alguma coisa x², certo? E aí, 2x vezes 5x dá quanto? Vai dar 10, 10x². E aí, o meu "a" só pode ser igual a 10. Esse termo central aqui, o "b". O "b", para eu obter um termo que tenha x, teria que fazer o que? Tem duas maneiras de obter um termo acompanhado só com x. Posso fazer 2x vezes -9, que vai me dar -18x. E posso fazer também 4 vezes o 5x, que vai me dar +20x. E aí, -18x + 20x vai dar 2x. E aí, eu cheguei a conclusão que o meu "b" vai ter que ser igual a 2, certo? E aí, só para você confirmar que uma coisa é igual a outra mesmo, você vai pegar o 4 e multiplicar com -9 e vai perceber 4 vezes -9 vai dar -36 E você percebe: não, essa outra forma que eu fiz aqui, essa última forma, foi uma forma mais sintetizada, mais fácil, mais rápida de fazer, mas o importante é que você compreenda todo o desenvolvimento aqui, para aí poder tentar fazer dessa forma mais rápida. Até o próximo vídeo!