Multiplicação de binômios por polinômios (antigo)

RKA - Nesse vídeo, simplesmente vou multiplicar diversos polinômios e espero que isso te dê exposição o bastante, para se sentir confiante quando precisar multiplicar qualquer coisa. Vamos começar com um problema razoavelmente simples. Digamos que só queremos multiplicar 2x vezes (4x - 5). Simplesmente, vamos usar a propriedade distributiva direto aqui. E, de verdade, quando a gente faz todas essas multiplicações polinomiais, só estamos fazendo a propriedade distributiva repetidamente. Mas só vamos fazer a propriedade distributiva aqui. Isso é 2x vezes 4x, mais 2x vezes -5, ou a gente poderia dizer -5 vezes 2x. Então, você diria -5 vezes 2x. Tudo o que fiz foi distribuir o 2x. Esse primeiro termo vai ser igual a, podemos multiplicar os coeficientes, lembre-se: 2x vezes 4x é o mesmo que, você pode reordenar a multiplicação, é o mesmo que 2 vezes 4, vezes x, vezes x, que é o mesmo que 8 vezes x². Lembre-se: x elevado a 1, vezes x elevado a 1, conserve a base e some os expoentes, você sabe que x vezes x, é x². Então, esse primeiro termo vai ser 8x², e o segundo termo -5 vezes 2x, que é -10x. Não é tão ruim, vamos fazer outro um pouquinho mais complicado. Digamos que a gente tenha 9x elevado à terceira, vezes (3x² - 2x + 7). Mais uma vez, só vamos fazer a propriedade distributiva aqui. Então, vamos multiplicar o 9x³, vezes cada um desses três termos. 9x³ vezes 3x², vou escrever agora. Nos próximos, vamos começar fazendo isso um pouco de cabeça, tá? Assim, isso vai ser 9x³ vezes 3x² Então, vamos ter mais, deixa eu escrever isso desse jeito, -2x vezes 9x³, e então mais 7 vezes 9x³. Então, algumas vezes eu escrevo 9x³ e às vezes escrevi isso depois, porque queria esse sinal de negativo aqui, mas não faz diferença a ordem que está multiplicando. Então, qual vai ser esse primeiro termo? 9 vezes 3 é 27, vezes x elevado, podemos somar os expoentes, aprendemos isso nas propriedades das potências, esse é x elevado à potência cinco, menos 2 vezes 9, é 18x elevado, temos x elevado a 1, x elevado a 3, x elevado à quarta potência. Mais 7 vezes 9, é 63x³. Então, finalizamos com esse simpático pequeno polinômios de quinto grau. Agora, vamos fazer um que estamos multiplicando dois binômios. E eu vou mostrar o que eu quero dizer no segundo. Esse você vai ver muito frequentemente em álgebra. Digamos que tem (x - 3) vezes (x + 2). Na realidade, eu quero mostrar que tudo o que estamos fazendo é a propriedade distributiva, então deixa eu escrever isso assim. Vezes x mais 2. Assim, a gente vai só fingir que isso é um número bem grande. E é isso, você sabe, se tivesse os "x", isso seria um número aqui, então só vamos distribuir esse em cada uma dessas variáveis. Isso vai ser (x - 3) vezes aquele x verde, mais (x - 3), vezes aquele 2 verde. Tudo o que fizemos foi distribuir o (x - 3), isso é só propriedade distributiva, lembre-se: se eu tivesse "a" vezes x "a" vezes (x + 2), isso seria igual a que? Seria igual a isso seria igual a "a" vezes x + "a" vezes 2, correto? Então, aqui pode ver, quando (x - 3) é a mesma coisa que "a", só estamos distribuindo. E agora, faríamos a propriedade distributiva de novo. Nesse caso estamos distribuindo o x agora no (x - 3), vamos distribuir o 2 no (x - 3). Você poderia estar acostumado a ver o x no outro lado mas, de qualquer forma, estamos só multiplicando. Assim, isso vai ser, eu vou deixar colorido, isso vai ser x vezes x, menos 3 vezes x, mais x vezes 2. Estou me esforçando para deixar colorido pra você. Eu acho que vai ajudando. menos 3 vezes 2. Tudo o que eu fiz foi distribuir o x e o 2. E, logo você se acostuma com isso, podemos fazer isso em um passo. Na verdade, você está multiplicando cada termo neste, por cada termo neste, e vamos descobrir maneiras mais rápidas de fazer isso no futuro, mas na verdade eu quero te mostrar a ideia aqui. Portanto, isso vai ser igual a que? Vai ser igual a x², isso aqui vai ser -3x, isso vai ser +2x, e assim isso aqui vai ser -6. Então, isso vai ser: x², menos 3 de alguma coisa, mais 2 da mesma coisa, será igual a -1 daquela coisa, -x, -6, multiplicamos aqueles dois. Agora, antes de continuarmos e fazer outro problema, quero mostrar que, de certa forma, pode fazer isso na sua cabeça também. Você não tem que passar por todos os passos, e só quero mostrar mesmo, que isso é só a propriedade distributiva, a forma mais rápida de fazer. Se você teve (x - 3) vezes (x + 2), literalmente só quer multiplicar cada termo aqui, vezes cada um desses termos, então diria: esse x vezes aquele x, então seria x², depois teria esse x vezes aquele 2, então +2x, assim você teria esse -3 vezes aquele x, - 3x. E então tem o -3 vezes 2 que é -6. E aí, quando simplifica mais uma vez, você obtém: x² - x - 6, e isso leva um pouco de prática pra se acostumar mesmo, tá? Agora, a próxima coisa que eu quero fazer, e a principal, é a exata forma. Vou multiplicar um binômio vezes um trinômio, que muitas pessoas acham intimidador. Mas, vamos ver, só mantenha a calma! Respira fundo, não é tão ruim. (3x + 2) vezes (9x² - 6x + 4). Agora, poderia fazer isso da mesma forma que fizemos no vídeo anterior. Literalmente, a gente podia levar esse (3x + 2) distribuído em cada um desses três termos, multiplicar (3x + 2) vezes cada um desses termos, e então distribuir cada um daqueles termos em (3x + 2). Isso levaria um tempão. E, na realidade, você nunca fará isso exatamente da mesma forma, mas terá a mesma resposta. E nós vamos ter, quando você tem polinômios maiores, o jeito mais fácil que posso achar para multiplicar, é como você multiplica números grandes. Assim, vamos escrever isso dessa forma: 9x² - 6 + 4, e vamos multiplicar aquele (3x + 2). E o que eu imagino é, quando você multiplica números regulares, tem seu lugar das unidades, seu lugar das dezenas, e seu lugar das centenas. Aqui, vai ter seu lugar para os termos independentes: seu lugar para primeiro grau, seu lugar para segundo grau, seu lugar para terceiro grau, se houver um, e na verdade haverá, neste vídeo. Logo, você só tem que colocar as coisas no lugar adequado, vamos lá, você começa aqui. Multiplica quase exatamente como faria a multiplicação tradicional. 2 vezes 4 é 8, ele vai para o um, ou para o lugar dos termos independentes. 2 vezes -6x é -12x. E vamos colocar 1 lá, que era 1 mais 8. 2 vezes 9x² é 18x², então vamos colocar aqui, no lugar do x². Agora, vamos fazer a parte do 3x, vou fazer em rosa, então olha como é diferente. 3x vezes 4 é 12x, mais 12x. 3x vezes -6x, o que é isso? o x vezes x é x², logo, vem para cá, e 3 vezes -6 é -18. Finalmente, 3x vezes 9x². O x vezes x² é x elevado à terceira potência. 3 vezes 9 é 27. Escrevi isso no lugar de x³, e mais uma vez você só quer adicionar como termos semelhantes. Então, obtém: 8, não têm outros termos constantes, então é só 8. -12x + 12x se anulam, 18x² - 18x² se anulam, então só deixamos aqui com 27x elevado a 3, isso é igual a 27x³ + 8, e pronto! E você pode usar essa técnica para multiplicar um trinômio vezes um binômio, um trinômio vezes um trinômio, na verdade, sabe, poderia ter cinco termos aqui, um quinto grau vezes um quinto grau, isso sempre vai funcionar, enquanto mantiver as coisas no lugar de grau adequado.