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Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo, nós vamos estudar um pouquinho mais sobre o comportamento final dos polinômios. E, quando a gente vai falar sobre comportamento final dos polinômios, a maneira mais fácil de começar a estudar isso é com os polinômios que a gente mais conhece e mais está acostumado a ver, que é o polinômios da forma quadrática "y = ax² + bx + c". Vocês todos devem lembrar muito bem que, se o "a" for maior que "0", o gráfico dessa função aqui, desse polinômio aqui, vai se parecer mais ou menos alguma coisa assim... (vou tentar fazer da maneira mais simétrica possível aqui)... vai se parecer com alguma coisa mais ou menos assim. E, se o "a" for menor que '"0, vai ficar com essa parte daqui voltada para baixo, como se fosse assim. E a razão pela qual esse vídeo vai focar no comportamento final dos polinômios, é que eles têm algumas propriedades interessantes e úteis para fazer algumas questões e resolver alguns problemas. E, quando a gente fala em propriedades finais de polinômios, a gente não está falando sobre o polinômio inteiro em si, por exemplo, a gente, basicamente, vai descartar essa parte daqui que é o que... não é o fim do polinômio, no caso é o meio do polinômio... então, a gente descarta essa parte aqui e passa a considerar como matéria de estudo só essa parte aqui, só essa parte que é o... realmente o final do polinômio, a parte onde ele começa.. se a gente fosse continuar desenhando aqui... (vou apagar essas linhas)... se a gente continuasse desenhando aqui, a gente provavelmente veria uma coisa assim, e cada vez uma linha mais próxima, mais reta que não mudaria. Esse é, basicamente, o comportamento final de um polinômio. Agora, esse é o comportamento final de um polinômio quadrático. E, se a gente for olhar, por exemplo, de um polinômio de grau 3 como o "ax³"... (na forma geral, vou escrever aqui)... "ax³ + bx² + cx + d", por exemplo. Se a gente for analisar o comportamento desse polinômio aqui, se a gente for analisar o gráfico dele, para valores muito, muito, muito, muito, muito negativos de "x" quando o "a" for maior que "0" para valores muito, muito, muito negativos de "x", o gráfico vai começar a crescer mais ou menos assim. Ele vai chegar a um valor, vai fazer alguma coisa parecida com isso daqui, e vai... quando "x" começar a crescer de novo, ele vai fazer mais ou menos isso daqui para valores muito, muito, muito, muito, muito grandes de "x"... (eu acho que não ficou muito simétrico aqui, mas dá para vocês entenderem o comportamento).... Novamente, então, quando o "a" for menor do que "0", o gráfico simplesmente vai inverter... tipo... essa parte como se fosse girar em torno desse eixo aqui que seria o eixo "y", no caso, (deixa eu apagar essas linhas pontilhadas). E o gráfico, então, ia ter um comportamento mais ou menos assim para valores muito grandes... muito pequenos, na verdade, de "x". Ele ia começar com "y" positivo, depois ele ia chegar a fazer esse comportamento aqui e voltar a decrescer quando o "x" ficasse muito, muito, muito grande. Então, vocês podem ver que essas funções são bem parecidas. Então, da mesma forma que a gente olhou o comportamento final dessa função quadrática, a gente pode olhar o comportamento final daqui. É só a gente esquecer essa parte do meio aqui, que tem várias curvas, várias mudanças de valores. Então, a gente simplesmente esquece essa parte daqui, essa daqui também, na outra função... a gente, simplesmente, esquece essa parte daqui que é a parte do... vou chamar de parte do meio... e olha só para a parte final, que, no caso, se a gente fosse acompanhar o crescimento dessa função, ela cresceria aqui, cresceria, cresceria, cresceria e iria assim até infinitamente digamos. Essa função vai continuar para sempre. Mas e se a gente for comparar agora com uma função, vamos supor, de grau 4? Eu vou escolher aqui o grau 4 para a função, porque é um grau... no caso, começa com um coeficiente par aqui. Então, vai ficar "ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e". Só percebam que esse aqui não é aquele mesmo "e" matemático que tem um valor, uma constante... esse daqui é só um "e", um número que eu vou usar essa função daqui. Se a gente fosse analisar o comportamento disso aqui para quando o "a" for maior do que "0", para valores muito grandes de "x", a função ia vir lá de cima, ia vir, ia vir, e para a mesma coisa ia acontecer se a função fosse com um "x" cada vez maior, valores muito, muito, muito grandes de "x", a função ia vir daqui, ia começar a crescer aqui novamente. E aqui no meio realmente não interessa o que a função faz, porque a gente está olhando só para o comportamento final, nosso objeto de estudo é o comportamento final de uma função polinomial. Então, aqui dentro dessa caixa branca que eu estou desenhando aqui, a função poderia, por exemplo... (provavelmente até)... ela iria descrever o comportamento mais ou menos assim, ou algo parecido com isso, mas realmente isso daqui não importa, isso daqui a gente não vai estar olhando para isso. A gente quer saber só o comportamento final, que é essa parte onde ela cada vez mais se aproxima de um valor cada vez maior conforme o valor de "x" cresce. E, se por acaso, a gente fosse olhar com o "a" menor do que "0", vocês já devem ter adivinhado, iria fazer algo mais ou menos assim quando valores muito pequenos de "x"; e, assim, para valores muito grandes de "x". E, novamente, aqui no meio ela poderia fazer alguma coisa mais ou menos assim, a gente pode até analisar isso. Só que essa parte aqui, essa parte do meio novamente não interessa para a gente porque a gente quer só o comportamento final, que seria isso daqui. E vocês já podem perceber que o comportamento dessa função que teve coeficiente par foi muito parecido com o dessa que também teve coeficiente par. Então, isso já pode surgir, mais ou menos, como... isso já pode, na verdade, surgir como uma regra para vocês. O comportamento final dessas funções polinomiais vai ser sempre igual quando o primeiro coeficiente for par ou quando o primeiro coeficiente for ímpar. Então, aqui eu vou descer, vou fazer agora de uma função com grau ímpar na frente, que vai ser a função com "x⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f". Só não confundam esse "f" também com "f" de funções assim como eu falei para esse daqui. Quando a gente fosse analisar essa função daqui, ela iria quando o "a" for maior que "0"... sempre analisando "a" maior e menor que "0" porque esse é o valor que importa para o desenho da função no gráfico... quando a gente fosse olhar para um "a" maior que "0", quanto menor fosse o nosso "x", menor ia ser o valor da função e ela ia crescendo, e ia crescendo, ia crescendo. Então, quanto maior fosse o nosso "x", ela também ia voltar a crescer, mais ou menos assim. Aqui no meio, assim como no exemplo de cima, ela poderia fazer algumas coisas bem... uns caminhos bem intrigantes aqui, podia fazer uma coisa assim, mas o comportamento final dela seria por sinal... (deixa eu pegar outra cor aqui)... seria esse comportamento daqui, que, por sinal, é igual, como vocês podem ver, ao comportamento, dadas as proporções, é igual ao comportamento de uma função cúbica aqui. Então, levando isso em conta, quando o nosso valor de "a" fosse menor que "0", a função iria fazer esse caminho daqui. Ela iria começar muito grande para valores muito pequenos, muito, muito, muito pequenos de "x". E, aqui, para valores muito, muito, muito grandes de "x", ela voltaria a decrescer. E, aqui, no meio de novo, ela faria aqueles caminhos todos, mas o que definiria mesmo o comportamento final dessa função seriam essas partes aqui.