Divisão de polinômios com restos

RKA - Dividimos o x³ mais 5x menos 4 por x² menos x mais 1. Apenas para ver as maneiras diferentes que podemos reescrever isso. A gente reescreve como x³ mais 5x menos 4 dividido por x² menos x mais 1. Ou, pode ser a melhor forma de escrever nesse caso... é que vamos escrever em uma divisão algébrica pelo método da chave. É escrever como x² menos x mais 1 dividido por x³ menos x mais 1. X² menos x mais 1 dividido por x³, menos x mais 1. Na verdade, vou deixar alguns espaços em branco. Não temos um termo em x² grau 2. Seria zero x², mas vou deixar um espaço apenas para podermos alinhar tudo no espaço adequado, quando de fato realizarmos a divisão. X³ mais zero x², mais 5x menos 4. Temos um espaço para a terceira potência, para a segunda, primeira, e para a potência x elevado a zero. Então, vamos fazer um pouco de divisão algébrica. Vamos ver o termo de grau mais alto. X² cabe em x³ quantas vezes? Bom, vai em x vezes. X³ dividido por x², é igual a x³ menos 2, que é igual a x à primeira. Que é igual a x. Então vai em x vezes. Vou escrever o x aqui. Vamos multiplicar x vezes tudo isso. X vezes x² é x³. X vezes menos x é menos x². X vezes 1 é mais x. Queremos, agora, subtrair toda essa expressão de toda aquela outra expressão, e isso é o mesmo que adicionar o oposto, ou multiplicar cada um desses termos por menos 1, e adicionar nesses termos. Então, vamos lá. Temos menos x³, menos 1 vezes menos x², é mais x². Mais x vezes menos um, é menos x. Agora vamos somar tudo. X³ menos x³, eles se cancelam. Zero mais x² é igual a x². 5x menos x é mais 4x. Depois, descemos esse menos 4. Não estamos somando nada a ele, como podemos ver tem um zero aqui, então vamos descer o menos 4. Agora, vamos analisar os termos de maior grau. X² vai em x². X² vai em x² exatamente uma vez. É a mesma coisa, então colocamos mais 1. Depois, temos 1 vezes x² é x². 1 vezes menos x é menos x. 1 vezes 1 é... 1 vezes 1 é 1. Agora, queremos subtrair isso daquilo. Ou, somar os opostos para somarmos, os opostos podemos apenas somar, é.. multiplicar cada um desses termos por menos 1. X² vira menos x². Menos x vezes menos 1 é mais x, e mais 1 vezes menos 1 é menos 1. Agora, vamos fazer a adição. X² menos x², eles se cancelam. 4x mais x é 5x. E, depois, temos menos 4 menos 1 é menos 5. Agora, talvez, fique tentado a continuar a divisão, mas não podemos mais. Esse termo aqui, o termo de maior grau, agora é maior que o grau de maior termo que irá tentar dividir. Logo, temos um resto. Temos um resto. A resposta para isso, é essa expressão aqui. É igual a... é igual a x mais 1. Esse x mais 1 mais o resto. Mais 5x menos 5. Qualquer que seja o divisor do resto. X²... x² menos x mais 1. Se isso fosse divisível, poderíamos continuar dividindo, mas estamos dizendo que não é, não é grau menor do que esse. A gente poderia dizer, é x mais 1, mas qualquer que seja esse resto, é dividido por esse aqui. Nossa resposta, vou escrever mais uma vez, é: x mais 1 mais 5x menos x sobre x², menos x mais 1. Podemos checar se funciona. Se pegarmos isso aqui, e multiplicarmos isso aqui, vamos obter o x³, mais 5x menos 4. Então, vamos fazer isso. Vamos multiplicar isso... vamos multiplicar por x² menos x mais 1. E, para fazer isso, vamos apenas distribuir todo esse trinômio vezes cada um desses termos. Vezes cada um desses termos. Quando a gente multiplicar o primeiro, obteremos x² menos x mais 1 vezes x. Isso será x vezes x², que é x³, x vezes menos x, é menos x². X vezes 1 é mais x. Depois, podemos multiplicar tudo isso vezes 1. Então será: mais x² menos x mais 1. Só estou multiplicando tudo por 1. E podemos multiplicar tudo isso por isso. Agora, isso é o mesmo que o denominador aqui. Vão se cancelar. Isso se cancela com aquilo, e ficaremos com... ficaremos só com o numerador aqui. Mais 5x menos 5. E agora, podemos tentar simplificar. Só temos um termo de terceiro grau, x³. Temos x³ aqui. Termo do segundo grau. Temos um menos x². E também temos um mais x². (Eles se cancelam). Termo do primeiro grau. Vejamos, se temos mais x e menos x, eles se cancelam. Então só teremos aquele 5x aqui. Só teremos aquele 5x. Temos mais 5x. Depois, temos esse termo de zero grau, também conhecido como termo independente ou constante. Temos mais 1. 1 menos 5, somando os 2, temos menos 4. A gente tem x³ mais 5x menos 4, que é exatamente o mesmo que temos aqui.