Conteúdo principal

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10

Lição 37: Simetria de funções polinomiais

Simetria de polinômios

Aprenda a determinar se uma função polinomial é par, ímpar ou nenhuma das opções.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma função é uma função par se seu gráfico é simétrico em relação ao eixo

y

Algebricamente,

f

é uma função par se

f (- x) = f (x)

para todos os valores de

x

Uma função é uma função ímpar se seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Algebricamente,

f

é uma função ímpar se

f (- x) = - f (x)

para todos os valores de

x

Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução à simetria de funções.

O que você vai aprender nessa lição

Você vai aprender a determinar se um polinômio é par, ímpar ou nenhum dos dois, com base na equação do polinômio.

Investigação: simetria de monômios

Um monômio é um polinômio de um termo. Monômios têm a forma

f (x) = a x^{n}

, em que

a

é um número real e

n

é um número inteiro maior ou igual a

0

Nessa investigação, vamos analisar a simetria de vários monômios para ver se podemos propor condições gerais para um monômio ser par ou ímpar.

Em geral, para determinar se uma função

f

é par, ímpar ou nem par, nem ímpar, analisamos a expressão para

f (- x)

Se $f (- x)$ ‍ é igual a $f (x)$ ‍, então sabemos que $f$ ‍ é par.
Se $f (- x)$ ‍ é o oposto de $f (x)$ ‍, então sabemos que $f$ ‍ é ímpar.
Caso contrário, ela não é par, nem ímpar.

Como um primeiro exemplo, vamos determinar se

f (x) = 4 x^{3}

é par, ímpar ou nenhum dos dois.

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & Simplifique \\ = - f (x) & Uma vez que f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

Aqui

f (- x) = - f (x)

, portanto a função

f

é uma função ímpar.

Agora, tente alguns exemplos sozinho(a) para ver se você consegue encontrar um padrão.

1) $g (x) = 3 x^{2}$ ‍ é par, ímpar ou nenhum dos dois?

2) $h (x) = - 2 x^{5}$ ‍ é par, ímpar ou nenhum dos dois?

Conclusão da investigação

Com os problemas acima, vemos que, se

f

é uma função monomial de grau par, então a função

f

é uma função par. Da mesma forma, se

f

é uma função monomial de grau ímpar, então a função

f

é uma função ímpar.

	Função par	Função ímpar
Exemplos	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
Em geral	$f (x) = a x^{n}$ ‍, em que $n$ ‍ é $par$ ‍	$f (x) = a x^{n}$ ‍, em que $n$ ‍ é $ímpar$ ‍

Isso acontece porque

(- x)^{n} = x^{n}

quando

n

é par e

(- x)^{n} = - x^{n}

quando

n

é ímpar.

Essa é provavelmente a razão pela qual funções pares e ímpares foram, a princípio, chamadas assim!

Investigação: simetria de polinômios

Nessa investigação, vamos analisar a simetria de polinômios com mais de um termo.

Exemplo 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

Para determinar se

f

é par, ímpar ou nenhum dos dois, calculamos

f (- x)

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n} quando n é par \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & Simplifique \\ = f (x) & Uma vez que f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

Como

f (- x) = f (x)

, a função

f

é uma função par.

Observe que todos os termos de

f

são de grau par.

Exemplo 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Novamente, começamos calculando

g (- x)

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} quando n é ímpar \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & Simplifique \end{aligned}

Nesse ponto, observe que cada termo em

g (- x)

é o oposto de cada termo em

g (x)

. Em outras palavras,

g (- x) = - g (x)

, portanto

g

é uma função ímpar.

Observe que todos os termos de

g

são de grau ímpar.

Exemplo 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Vamos calcular

h (- x)

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4} e (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & Simplifique \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

não é igual a

h (x)

, nem é o oposto de

h (x)

Matematicamente,

h (- x) \neq h (x)

h (- x) \neq - h (x)

, portanto

h

não é par, nem ímpar.

Observe que

h

tem um termo de grau par e um termo de grau ímpar.

Conclusão da investigação

Em geral, podemos determinar se um polinômio é par, ímpar ou nenhum dos dois, examinando cada termo individualmente.

‍	Regra geral	Exemplo de polinômio
Par	Um polinômio é par se cada termo for uma função par.	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
Ímpar	Um polinômio é ímpar se cada termo for uma função ímpar.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
Nenhum dos dois	Um polinômio não é par, nem ímpar, se ele for composto tanto por funções pares quanto ímpares.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Teste seu conhecimento

3) $f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5$ ‍ é par, ímpar ou nenhum dos dois?

Para começar, vamos decidir se cada termo de

f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5

é uma função par ou ímpar.

$- 3 x^{4}$ ‍ é uma função par, pois ela é um monômio de grau $par$ ‍.
$- 7 x^{2}$ ‍ é uma função par, pois ela é um monômio de grau $par$ ‍.
$5$ ‍ é uma função par, pois ela é um monômio de grau $par$ ‍. Observe que ela pode ser escrita como $5 \cdot x^{0}$ ‍.

Como cada termo na função polinomial é, em si, uma função par (grau par), o polinômio também é par.

Também podemos ver isso algebricamente mostrando que

f (- x) = f (x) .

\begin{aligned} f (- x) \\ = - 3 (- x)^{4} - 7 (- x)^{2} + 5 \\ = - 3 (x^{4}) - 7 (x^{2}) + 5 & (- x)^{n} = x^{n} para par n \\ = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5 & Simplifique \\ = f (x) \end{aligned}

4) $g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}$ ‍ é par, ímpar ou nenhum dos dois?

Para começar, vamos decidir se cada termo de

g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}

é uma função par ou ímpar.

$8 x^{7}$ ‍ é uma função ímpar, pois ela é um monômio de grau $ímpar$ ‍.
$- 6 x^{3}$ ‍ é uma função ímpar, pois ela é um monômio de grau $ímpar$ ‍.
$x^{2}$ ‍ é uma função par, pois ela é um monômio de grau $par$ ‍.

Como os termos do polinômio são mistos (pares e ímpares), então o polinômio não é par, nem ímpar.

Também podemos verificar isso algebricamente. Observe que

g (- x)

não é

g (x)

, nem o seu oposto.

\begin{aligned} g (- x) & = 8 (- x)^{7} - 6 (- x)^{3} + (- x)^{2} \\ = 8 (- x^{7}) - 6 (- x^{3}) + x^{2} \\ = - 8 x^{7} + 6 x^{3} + x^{2} & Simplifique \end{aligned}

5) $h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x$ ‍ é par, ímpar ou nenhum dos dois?

Para começar, vamos decidir se cada termo de

h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x

é uma função par ou ímpar.

$10 x^{5}$ ‍ é uma função ímpar, pois ela é um monômio de grau $ímpar$ ‍.
$2 x^{3}$ ‍ é uma função ímpar, pois ela é um monômio de grau $ímpar$ ‍.
$- x$ ‍ é uma função ímpar, pois ela é um monômio de grau $ímpar$ ‍. Observe que ela pode ser escrita como $- 1 \cdot x^{1}$ ‍.

Como cada termo na função polinomial é, em si, uma função ímpar (grau ímpar), o polinômio também é ímpar.

Também podemos ver isso algebricamente mostrando que

h (- x) = - h (x) .

\begin{aligned} h (- x) & = 10 (- x)^{5} + 2 (- x)^{3} - (- x) \\ = 10 (- x^{5}) + 2 (- x^{3}) - (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} quando n é ímpar \\ = - 10 x^{5} - 2 x^{3} + x & Simplifique \\ = - h (x) \end{aligned}

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

Nenhuma postagem por enquanto.

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

O que você vai aprender nessa lição

Investigação: simetria de monômios

Conclusão da investigação

Investigação: simetria de polinômios

Exemplo 1: f(x)=2x4−3x2−5‍

Exemplo 2: g(x)=5x7−3x3+x‍

Exemplo 3: h(x)=2x4−7x3‍

Conclusão da investigação

Teste seu conhecimento

Quer participar da conversa?

Exemplo 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

Exemplo 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Exemplo 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍