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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10
Lição 37: Simetria de funções polinomiaisSimetria de polinômios
Aprenda a determinar se uma função polinomial é par, ímpar ou nenhuma das opções.
Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição
Uma função é uma função par se seu gráfico é simétrico em relação ao eixo .
Algebricamente, é uma função par se para todos os valores de .
Uma função é uma função ímpar se seu gráfico é simétrico em relação à origem.
Algebricamente, é uma função ímpar se para todos os valores de .
Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução à simetria de funções.
O que você vai aprender nessa lição
Você vai aprender a determinar se um polinômio é par, ímpar ou nenhum dos dois, com base na equação do polinômio.
Investigação: simetria de monômios
Um monômio é um polinômio de um termo. Monômios têm a forma , em que é um número real e é um número inteiro maior ou igual a .
Nessa investigação, vamos analisar a simetria de vários monômios para ver se podemos propor condições gerais para um monômio ser par ou ímpar.
Em geral, para determinar se uma função é par, ímpar ou nem par, nem ímpar, analisamos a expressão para :
- Se
é igual a , então sabemos que é par. - Se
é o oposto de , então sabemos que é ímpar. - Caso contrário, ela não é par, nem ímpar.
Como um primeiro exemplo, vamos determinar se é par, ímpar ou nenhum dos dois.
Aqui , portanto a função é uma função ímpar.
Agora, tente alguns exemplos sozinho(a) para ver se você consegue encontrar um padrão.
Conclusão da investigação
Com os problemas acima, vemos que, se é uma função monomial de grau par, então a função é uma função par. Da mesma forma, se é uma função monomial de grau ímpar, então a função é uma função ímpar.
Função par | Função ímpar | |
---|---|---|
Exemplos | ||
Em geral |
Isso acontece porque quando é par e quando é ímpar.
Essa é provavelmente a razão pela qual funções pares e ímpares foram, a princípio, chamadas assim!
Investigação: simetria de polinômios
Nessa investigação, vamos analisar a simetria de polinômios com mais de um termo.
Exemplo 1:
Para determinar se é par, ímpar ou nenhum dos dois, calculamos .
Como , a função é uma função par.
Observe que todos os termos de são de grau par.
Exemplo 2:
Novamente, começamos calculando .
Nesse ponto, observe que cada termo em é o oposto de cada termo em . Em outras palavras, , portanto é uma função ímpar.
Observe que todos os termos de são de grau ímpar.
Exemplo 3:
Vamos calcular .
Matematicamente, e , portanto não é par, nem ímpar.
Observe que tem um termo de grau par e um termo de grau ímpar.
Conclusão da investigação
Em geral, podemos determinar se um polinômio é par, ímpar ou nenhum dos dois, examinando cada termo individualmente.
Regra geral | Exemplo de polinômio | |
---|---|---|
Par | Um polinômio é par se cada termo for uma função par. | |
Ímpar | Um polinômio é ímpar se cada termo for uma função ímpar. | |
Nenhum dos dois | Um polinômio não é par, nem ímpar, se ele for composto tanto por funções pares quanto ímpares. |
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