Introdução à divisão sintética de polinômios

RKA - Nesta expressão estamos dividindo este polinômio de 3º grau por este polinômio de 1º grau. A gente pode simplificar usando a divisão algébrica longa tradicional. Abordaremos neste vídeo uma técnica ligeiramente diferente chamada de divisão sintética, também conhecida como Dispositivo Prático de Briot-Ruffini. A divisão sintética parecerá meio mágica no contexto deste vídeo, e nos próximos vídeos pensaremos por que, na verdade, ela faz sentido (por que você obtém o mesmo resultado da divisão algébrica longa tradicional). Não gosto muito da divisão sintética, porque é muito algorítmica. Prefiro fazer a divisão algébrica longa tradicional, mas acredito que verá que ela possui algumas vantagens: pode ser mais rápida e ocupa menos espaço no papel. Vamos, então, fazer a divisão sintética. Vamos simplificar essa expressão. Antes de começarmos, há duas coisas importantes para ter em mente: estamos fazendo a forma mais básica de divisão sintética, e, para usar este algoritmo, esse processo mais básico, deve observar duas coisas na expressão de baixo. Primeiro: deve ser um polinômio de primeiro grau. Você deve ter apenas um "x" aqui. Não "x²", "x³" ou coisa parecida. O expoente do "x" tem que ser 1. A outra coisa é que o coeficiente aqui é 1. Há formas de fazer caso o coeficiente seja diferente, mas a divisão sintética seria mais elaborada. De forma geral, o que vou mostrar agora funcionará se tiver algo na forma de "x" mais ou menos alguma coisa. Dito isso, façamos a divisão sintética. Primeiro, escreverei todos os coeficientes para este polinômio do numerador. Vamos escrever todos eles. Temos 3, temos 4 ("+4") temos "-2", e "-1". Haverá pessoas desenhando tipos diferentes de sinais aqui, dependendo de como estiverem fazendo a divisão sintética, mas esse é o mais tradicional. Você quer deixar um espaço aqui para outra fileira de números, por isso desenhei até aqui. Observamos o denominador; especialmente, vamos observar o que é positivo ou negativo aqui. Vamos observar. Aqui temos "+4". Ao invés de escrever "+4", escrevemos o seu oposto; escrevemos o oposto disto, que seria "-4". Escrevemos "-4". Agora estamos prontos para realizar a divisão sintética. Vai parecer mágica! Nos próximos vídeos vamos explicar por que isso funciona. Aqui, esse primeiro coeficiente... literalmente, a gente traz para baixo. Você coloca o 3 ali, e multiplica o que tem aqui vezes o "-4". 3 vezes "-4" é "-12". Você soma o 4 ao "-12". "4 + (-12)" é "-8". Multiplica "-8" vezes "-4" (acho que você já sacou o padrão)... "-8" vezes "-4" é "+32". Agora, somamos "-2" ao "+32". Isso é igual a "+30". Agora, você multiplica o "+30" vezes "-4", que nos dá "-120", e soma o "-1" ao "-120", obtém "-121". Agora, a última coisa a fazer: observe que tem um termo aqui. Nesta versão "café com leite" da divisão sintética, lidamos apenas com "x" mais ou menos algo; terá apenas um termo ali. Então será um termo à direita, dessa forma. Essencialmente temos nossa resposta, mesmo que pareça mágica. Para simplificar isso, obtém... (e rufem os tambores)... isto será... isto bem aqui será... isto será a constante. Considere o termo de grau zero. Isso será um termo "x", isso será um termo "x²". Você pode contar partindo daqui, assumindo que esse será a constante, esse será um termo "x", esse será um termo "x²". Se tivéssemos mais, seria "x³", "x⁴" e assim por diante. Então isso será igual a "3x² - 8x + 30". E você pode considerar isso aqui como o resto: "-121" sobre "x + 4". Isso não foi perfeitamente dividido, então, sobre "x + 4". Outra forma para fazer isso seria dizer que isto é o resto. Terei "-121" sobre "x + 4", e será: "+30 - 8x + 3x²". Espero que isso faça algum sentido. Vou fazer outro exemplo no próximo vídeo e pensaremos sobre por que isso realmente funciona.