Por que a divisão sintética funciona

RKA - O que eu quero fazer é simplificar exatamente a mesma expressão, mas com a divisão algébrica longa tradicional. E esperamos ver por que a divisão sintética, ou dispositivo prático de Briot-Ruffini, nos dá exatamente o mesmo resultado. Veremos as conexões entre divisão sintética e divisão algébrica longa. Vamos lá. Se fizermos a divisão algébrica longa montada aqui, a primeira coisa na qual queremos pensar é: quantas vezes o termo de maior grau aqui, que é x, cabe no termo de maior grau daqui, que é 3x³. Bom, 3x cabe em 3x³ 3x² vezes. Colocamos aqui no local do x². X² vezes. Talvez agora você já veja um paralelo. Quando fizemos a divisão sintética, colocamos esse 3 direto para baixo. E esse 3 representa 3x². Esse 3 e esse 3x² representam a mesma coisa. Mas você pode se perguntar: bom, aqui, precisamos pensar um pouco. Tivemos que dizer x cabe em 3x³, 3x² vezes. Aqui, simplesmente colocamos o 3 embaixo, sem pensar como isso funciona. O motivo para colocar o 3 embaixo sem pensar, é porque assumimos, para fazer esse tipo básico da divisão sintética, que temos apenas um x aqui. Não temos 3x, nem 4x, nem x². Temos apenas x. E se dividir um x por qualquer que seja esse primeiro termo de maior grau, o coeficiente será exatamente igual, só que em um grau abaixo. Você vai de 3x³ para 3x². Portanto, exatamente o mesmo coeficiente. E agora, em nossa divisão sintética aqui, esse é o termo x². Veja, fomos de 3x³ para 3x². Essencialmente, o dividimos por x. E podemos fazer isso cegamente, porque sabemos... porque assumimos que estávamos lidando com apenas 1x. 1x elevado à primeira potência. Vamos continuar, e acompanhar os paralelos e ver que estamos fazendo essencialmente a mesma coisa. A gente pega esse 3x² e multiplica isto por x mais 4. 3x² vezes x será... (Vou usar branco) Será 3x³. E 3x² vezes 4 será 12x². Agora, vamos subtrair isso. Então, subtraímos... subtraímos isto. E ficamos com... Esses caras se anulam, e você tem 4x² menos 12x². Você obtém menos 8x². Mais uma vez, talvez esteja vendo alguns paralelos. Você tem 4x² aqui, você tem 4x² ali. Apenas escrevemos o coeficiente, mas isso é o que ele representa. Para 4x², escrevemos 4 ali. Essencialmente, subtraímos 12x², e obtivemos esse 12 multiplicando 3 por 4 e subtraímos. Aqui, multiplicamos 3 por menos 4. Essencialmente, multiplicamos 3 por 4, e então subtraímos. Por isso, colocamos o sinal negativo, para não esquecer de subtrair esta fileira. Podemos apenas continuar adicionando. Foi essencialmente o que fizemos. Multiplicamos esse 3 por 4, e agora subtraímos. Obtemos aquele menos 12x². Subtraímos e obtemos menos 8x². E pode perguntar se esse menos 8 é o mesmo que esse aqui. Ainda não, porque aqui esse menos 8 literalmente representa menos 8x. Isto é, na verdade, parte da nossa simplificação. Quando dividimos isso por aquilo, obtemos 3x² menos 8x mais 30. Aqui, na divisão algébrica longa, perguntamos: quantas vezes x cabe em menos 8x²? Bom, x cabe em menos 8x² menos 8x vezes. Isto é a chave aqui. X cabe menos 8x vezes. Mais uma vez, podemos simplesmente colocar esse menos 8 aqui, porque sabemos que estamos dividindo apenas por 1x. Teremos exatamente o mesmo coeficiente, só um grau abaixo. Esse aqui é nosso termo x, e pode vê-lo bem ali dessa forma. Muito da simplificação origina-se na ideia de que estamos assumindo na divisão sintética, que isto é um x. Vamos continuar. Temos menos 8x vezes isso aqui. Nos dá menos 8x vezes x é menos 8x². E temos menos 8x vezes mais 4, que é menos 32x. A gente pode trazer para baixo tudo isso aqui, para ficar mais simples. Temos menos 2x, e depois aqui menos 1. Novamente, quando fizer a divisão algébrica longa tradicional, vamos subtrair isso daquilo que está acima. Se vamos subtrair, é o mesmo que adicionar o positivo. Obtemos... esses caras se anulam, temos menos 2x mais 32x que nos dá mais 30x... mais 30x, e podemos trazer o menos 1 para baixo, se quisermos. Então, vamos trazer. (Vou usar o amarelo). Traremos esse menos 1. Esse 30 possui o mesmo coeficiente daqui, mas esse 30 deveria estar aqui em cima. Será parte da nossa resposta final. Para obter isso, mais uma vez, tudo é originado no fato de que sabíamos que era um x aqui, quando fizemos a divisão sintética. 30x dividido por x será apenas 30. Apenas 30. Aquele 30 e esse 30 são exatamente a mesma coisa. Então, multiplicamos: 30 vezes x é 30x. 30 vezes 4 é... (Vou escrever 30x em branco, porque é a convenção que tenho usado). 30x... 30 vezes 4 é 120. Agora, vamos subtrair. Subtrair isso disso... obtemos... menos 1 menos 120 dá menos 121. Menos 121. Que é, bem ali, é nosso resto. E é exatamente o que obtivemos ali. Esperamos que você consiga ver a conexão. Isto, uma vez que assumimos uma divisão por x mais ao menos algo, podemos fazer algumas suposições para simplificar, sempre que você dividir isto por 1x. Sabe que obterá o mesmo coeficiente um grau abaixo. O mesmo coeficiente um grau abaixo, e continuamos com isto. Então, nos permite fazer isso de forma um pouco mais simples, um pouco mais rápida e usando menos espaço.