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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10
Lição 26: Compreensão do teorema binomialTriângulo de Pascal e análise combinatória
Neste vídeo, mostramos como a geração dos valores no triângulo de Pascal está relacionada à fórmula da análise combinatória (n sobre k). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA - Uma maneira legal de
relacionar o Triângulo de Pascal, a parte de combinatória da expansão
binomial, é imaginando a seguinte situação: eu tenho aqui três funções (eu vou
marcar aqui essa função, essa função e essa função). Na verdade, são três binômios,
três partes desse binômio, que a gente... aqui, já feita à expansão (porque nós temos
um grau 3 aqui; então, são três binômios que geram essa expansão). Então, aqui vou chamar
de binômio 1, aqui o 2 e aqui o 3; e, aqui embaixo, da mesma forma, eu
marquei o 1, o 2 e o 3. E o que o Triângulo de Pascal quer dizer para
a gente é que... vamos supor pegando aqui... essa parte,
esse binômio aqui... o que o Triângulo de Pascal quis dizer
para a gente é que existem três funções (então, deixa eu marcar)... três binômios,
desculpa... (então, deixa eu marcar aqui), existem três binômios e eu
quero pegar só dois "y", então, eu quero pegar dois y desses três binômios,
então, existem dois "y" que eu quero pegar desses três binômios. Eu tenho três, quero
pegar dois. De quantas maneiras eu posso fazer isso daqui? Então, olhando
aqui pelo Triângulo de Pascal, a gente pode imaginar... e eu, na verdade,
gosto de imaginar a seguinte situação: eu tenho aqui o "x" e o "y²" e existem
várias maneiras de chegar até esse "3xy²" (que é o mesmo termo que a
gente tem aqui em cima que eu marquei) e... um dos termos que está logo... os dois,
na verdade, os dois termos que estão logo acima dele são "2xy" e "1y²". E, se a gente for olhar aqui,
a soma do número de vezes... do número de maneiras que eu tenho
como chegar aqui com o número de maneiras que eu tenho como chegar aqui vai dar um
número de maneiras que eu tenho como chegar aqui, ou seja, "2 + 1 = 3". Então, a gente pode, por exemplo, só para
orientar vocês: toda vez que eu pegar um caminho para a esquerda, eu vou estar
escolhendo um "x"; e, toda vez que eu for pegar um caminho para a direita,
eu vou estar escolhendo um "y". Então, eu posso pegar, por exemplo,
um "x" da primeira função, eu posso pegar um "y" da segunda,
e eu posso pegar mais um "y" para chegar até lá
(o "y" da terceira, no caso). Eu posso também pegar
um "y" da primeira, um "y" da segunda e um "x" da terceira; ou, como última alternativa... (como
aqui a gente viu já o resultado dá 3, existem três maneiras de chegar até aqui)...
então, agora, a última que falta seria pegar um valor de "y" da primeira, um valor de "x" da segunda, e mais um valor de "y" da terceira, ou seja, a gente acabou de observar
que existem três caminhos para chegar até esse valor (até
esse termo que a gente queria), que é justamente o resultado
dessa análise combinatória aqui. Então, uma das maneiras mais gráficas de interpretar isso, uma das
maneiras mais visualizáveis (que eu acho), é justamente olhando por esse Triângulo
de Pascal e tentando brincar de traçar os caminhos até o termo que
a gente esteja procurando. Então é isso, espero ter ajudado
vocês. Até o próximo vídeo.