Expansão de binômios e análise combinatória (antigo)

RKA - Então, a minha tentativa nesse vídeo aqui vai ser mostrar para vocês uma outra conexão entre combinatória (análise combinatória) e as expansões binomiais. Então, eu só queria avisar antes de começar, que aqui nessa primeira parte dos vídeos, as cores que eu estou escolhendo para fazer os três termos do binômio aqui, não foram escolhidas por acaso, eu vou escolher elas e vou seguir com essas cores para ficar mais fácil de vocês entenderem. Então, só anotando que: nos outros vídeos eu escolhi as cores para diferenciar um pouco mais, mas, nesse vídeo, elas vão ter algum significado. Então, eu vou pegar essa primeira cor aqui, vou fazer o primeiro termo do binômio aqui. Agora eu vou botar mais um, e mais um (o terceiro). São três cores diferentes e... o "a"... esses três "a" são os mesmos "a" e esses três "b" são os mesmos "b"; a única diferença é que a cor é diferente. Só que eu quero, justamente, deixar a cor assim, para, no final, vocês verem de onde veio cada termo. Então, o que eu vou fazer é pegar esse "a" e multiplicar por esse "a" aqui, e também vou pegar esse mesmo "a" e multiplicar por esse "b" aqui. Da mesma forma, eu vou pegar (deixa eu mudar a cor aqui) vou pegar esse "b" e multiplicar por esse "a", e o mesmo "b" depois eu vou multiplicar por esse "b" daqui, e o resultado eu vou botar aqui embaixo. Então, vamos começar. Vamos multiplicar esse "a" verde com esse "a" azul, isso daqui vai dar "a" verde vezes o "a" azul. Agora, deixa eu botar um "+" aqui (eu vou fazer de uma cor neutra isso)... agora, esse mesmo "a" multiplicado por aquele "b". Então, vai dar o "a" verde vezes o "b" azul mais "b" verde "a" azul mais "b" verde "b" azul. E, agora, eu vou fechar aqui um parênteses... (deixa eu fechar dessa maneira aqui)... e vocês já devem ter notado porque eu escolhi duas cores diferentes: para vocês conseguirem ver qual o termo veio de onde, como eu expliquei antes. E, agora, isso tudo daqui eu vou multiplicar por "a + b". Isso aqui seria a mesma coisa, no caso, que pegar um um binômio "(a + b)³" e fazer a expansão disso aqui (realizar a expansão disso daqui), só que eu estou fazendo passo a passo, bem detalhadamente, porque eu quero que vocês tenham plena certeza do porquê de a análise combinatória estar metida no meio disso tudo aqui. Então, agora vou ter que multiplicar cada termo por esse termo daqui. Então, eu vou começar aqui: "a" vezes o "a" azul vezes o "a" vermelho, mais "a" verde vezes "b" azul vezes o "a" vermelho, mais "b" verde, "a" azul, "a" vermelho, mais "b" verde, "b" azul, "a" vermelho... (essa parte é um pouco entediante, essa parte daqui, mas vocês já vão ver no final o propósito disso tudo, que vocês vão entender muito bem isso aqui)... "a" vezes "a" vezes "b". Agora, aqui, "a" verde, "b" azul, "b" vermelho, mais "b" verde, "a" azul, "b" vermelho, mais "b" verde, "b" azul, "b" vermelho. E acabamos aqui a nossa expansão binomial com todas as cores diferentes possíveis. E, agora, como eu falei, eu vou explicar o propósito disso. Então, aqui eu tenho, por exemplo, um "a³", só que eu vou analisar esse "a²b". Então, vou escrever aqui: "a²b" (vai ser o termo que eu vou estar analisando). Então, vamos contar quantos a gente conseguiu. Então, a gente conseguiu um "a²b" (esse aqui é "a²b"...dois "a" e um "b": "a²b"), isso daqui também vai ser "a²b" e isso daqui também vai ser "a²b". Então, nós vamos ter "3a²b". E vocês devem ter percebido já, pela nossa fórmula da expansão binomial... eu queria que vocês fizessem seguinte pergunta: esse 3 ele está ali justamente por uma coincidência de ser o resultado da análise combinatória de "3, 2 a 2" "a²b" ou esses dois valores aqui, esse 3 e essa análise combinatória de "3, 2 a 2", têm alguma conexão entre si? E a resposta é que eles têm uma conexão, e a conexão é bem sutil, só que, depois que a gente fez esse esquema todo daqui, a gente vai conseguir notar ela de uma maneira bem melhor. Eu quero que vocês pensem o seguinte: de quantas maneiras eu posso pegar... eu tenho três coisas, vamos supor que eu tenha aqui três bolinhas (vou desenhar três bolinhas aqui), de quantas maneiras que eu posso pegar duas bolinhas dessas três? Então, eu posso pegar essa bolinha e essa bolinha; eu posso pegar essa bolinha e essa bolinha; ou eu posso pegar essa bolinha e essa bolinha. São três maneiras diferentes. Então, a mesma coisa se aplicaria aqui (isso daqui pode ser número, pode ser bolinha, pode ser amigos), esse cálculo vai continuar sendo o mesmo. Então, eu tenho três coisas no total, 3 binômios aqui, e eu quero saber de quantas maneiras eu posso pegar 2 em 3. Então, vai ser "3, 2 a 2". E eu quero é que vocês percebam que isso daqui é porque a gente está, de certa forma, usando o "a" como referência; então, o valor que está aqui em cima... (deixa eu apagar, agora, esse amarelo que eu fiz, eu vou botar de novo o elevado ao quadrado)... então, eu quero vocês percebam que a gente está pegando o "a" como referência, mas a gente também pode pegar o "b" como referência, aqui é como se estivesse elevado a 1. Então, eu quero que vocês percebam que "3, 2 a 2" "a²b" é exatamente a mesma coisa que três, no total, e eu quero pegar... eu tenho três coisas... e eu quero pegar uma (uma só) dessas... de quantas maneiras eu posso pegar uma entre três desse nosso valor, desse nosso termo "b" aqui. E eu quero saber isso e o que vai ser "3, 1 a 1" "a²b"; e, se a gente for fazer o cálculo, a gente vai perceber que o resultado disso daqui vai ser 3, existem três maneiras diferentes de fazer isso. E o resultado disso daqui também vai ser 3 (até por isso que existe aquela simetria de por exemplo os coeficientes serem "1:3:3:1" ou, por exemplo "1:7:35:35:7:1". Então, vocês podem perceber que aquele Triângulo de Pascal, pelo menos para mim, ele está querendo dizer isso daqui. Então, essa daqui é a conexão mais... que vocês mais podem ter certeza de que existe entre a análise combinatória e o Triângulo de Pascal, Eu acho que ela é um pouco mais difícil de notar, só que, depois que vocês notam ela, fica muito mais fácil de fazer as questões. Então, por exemplo, eu posso escrever assim... que eu tenho (deixa eu escrever aqui o termo) "a²b"... ou melhor, eu vou escrever direto o "a³b"... (deixa eu fazer aqui), "a³b"; b, no caso, vai ser "bº". Eu quero saber de quantas maneiras eu posso fazer isso daqui. Então, eu tenho três coisas no total e eu quero saber de quantas maneiras eu posso pegar nenhuma do "b". Então, eu tenho três termos e quero pegar zero deles. Então, é isso daqui que isso daqui está querendo fazer... que ele está querendo dizer... e a gente pode continuar fazendo esse termo daqui e a gente, por exemplo, chegaria aqui em "a²b¹", então, aqui seria análise combinatória de "3, 1 a 1", por quê? Porque eu tenho três coisas no total, eu tenho três termos no total aqui em cima, e eu quero escolher 1 (de quantas formas eu posso escolher só um "b" desses três termos). E isso daqui o resultado daria, por exemplo, "3!/0!3!". Isso daqui daria 1 (o resultado), ou seja, uma maneira de se fazer isso, que é justamente o que a gente tem aqui. A gente tem uma maneira só de chegar à "b³" e aqui, por exemplo, "a²b", a gente vai chegar em três maneiras diferentes de chegar nesse valor, que é justamente o que a gente verificou aqui: nós temos três maneiras diferentes de chegar em "a²b". E se a gente fosse olhar, por exemplo, para o "b³"? Então, a gente chegaria lá no termo (deixa eu fazer aqui) e chegaria lá no termo "b³"... (deixa eu fazer)... "b³", já boto 3 aqui... aqui eu já possa marcar "aºb³"... então, eu quero saber de quantas maneiras eu posso, de três coisas, pegar três "b", e aqui eu botaria "3, 3 a 3", ou seja essa simetria, a gente pode calcular que "3, 0 a 0" é igual a 3 em que eu escolho 3. Então, essa é a conexão mais provável que vocês podem imaginar entre análise combinatória e expansão binomial; e, sinceramente, isso daqui tudo, essa expansão toda, esconde uma beleza de análise combinatória que até pode ser chata no começo de fazer (de expandir isso daqui tudo), mas, com certeza, depois que a gente percebe isso, faz muito mais sentido desenvolver uma expansão binomial. Então, eu espero ter ajudado vocês e até o próximo vídeo.