Zeros de polinômios e seus gráficos

RKA - Essa questão aqui pergunta qual desses três gráficos pode ser o gráfico que representa esta função polinomial aqui. Então, para começar isso, a gente vai ter que analisar os pontos em que essa função intercepta o eixo "x", ou seja, os valores em que "y = 0". E, vamos fazer o caminho inverso, eu não vou já fatorar isso aqui direto e procurar valores aqui; vamos tentar fazer primeiro olhando para o gráfico. Então, olhando para o gráfico, a gente consegue ver que essa função intercepta o eixo "x" nesse ponto aqui. Essa função intercepta, esse desenho desse gráfico, essa curva intercepta nesses três pontos. E esse daqui nesses dois pontos. Então, se a gente for procurar o valor que essa interceptação aconteceu, a gente vai ver que está entre o "-4" e o "-2" aqui. Então esse valor daqui é "-3". E vamos tentar realmente trocar aqui e colocar no lugar de "x" um "-3". Então, o "y(-3)" vai ser igual a "(-3)³ + 3 ‧ (-3)² - 3 + 3". Então, aqui, a gente já pode cancelar porque "-3" com "+3" vai dar 0, e aqui a gente vai ver que o valor vai dar "(-3)³" vai dar "-27", e "+3" vezes 9 (aqui vai dar 9) vai dar "+27". Então, o resultado disso daqui é zero e confere, realmente, esse gráfico pode ser o gráfico dessa função. Até acho que a gente já acabou de matar a questão (eu não esperava que fosse logo assim de primeira), mas vamos continuar olhando os outros gráficos só para ter certeza. Então, a gente sabe que, como essa é uma função cúbica (uma função tem um coeficiente 3), a gente sabe que essa função vai ter três raízes, que podem ser, por exemplo, as três reais, ou uma real e duas complexas. A questão aqui, a ideia é lembrar que as raízes complexas sempre vêm em par. Então, eu posso ter, por exemplo, uma raiz real (3) e duas raízes complexas; no caso, necessariamente, vamos supor "a + bi" e o par conjugado desse número complexo, que vai ser "a - bi". Então, obrigatoriamente, sempre vai ter um par conjugado quando tiver números complexos. Então, olhando assim, já que a gente já sabe disso, a gente já pode descartar qual função? Muito bem, essa função "C" aqui. A gente já pode descartar ela porque aqui a gente tem duas raízes; então, se a gente tem duas raízes, a gente só possuía duas possibilidades: ou as três raízes seriam reais ou seria uma raiz real e duas complexas. E, como esse gráfico está num plano cartesiano representando os números reais, não pode ter dois pontos cortando o eixo "x", então esse gráfico aqui já não é de certeza. E, agora, vou pegar... (eu vou ter que apagar isso aqui, para ter mais espaço então, me perdoem se alguém estava olhando para aquilo ali)... e, agora, vou pegar e fatorar isso daqui para ver quais são os valores de "x", para ter certeza de que não é esse gráfico "B". Então, a ideia da fatoração é pegar os termos em comum como vocês já devem ter visto nos outros vídeos, pegar os termos em comum e juntar. Então, aqui, para fatorar, eu vou pegar o termo "x" que está multiplicando todos esses valores... vou pegar "x" e deixar aqui como "x² + 3x + 1", mais 3 aqui no final. E, agora, se eu pegar e juntar esses dois valores aqui, que sobraram (ficaram de fora daqueles parênteses), eu vou ter "x + 3" e "x² + 3x + 1". A fatoração deu certo. Eu já estou até com coeficiente 1 aqui na frente (isso aqui é como se fosse 1 vezes "x²"). Então, aqui, a gente acabou de descobrir uma das raízes reais já, que é "-3" (como a gente pode ver aqui), que já está neste gráfico aqui. É mais um ponto positivo para esse gráfico. E, agora, a gente tem que pensar para descobrir mais essas duas raízes aqui, a gente tem que pensar em algum número que multiplicado dê 1 e que somados, que a soma desses dois números dê "+3". E, realmente, vocês podem pensar quanto tempo vocês quiserem, não existe número real que multiplicado dê "+1" e que somado dê "+3", ou seja, não existe... essa função daqui se a gente quisesse até resolver pela famosa fórmula de Bhaskara, vocês poderiam continuar resolvendo aqui e vocês simplesmente descobririam que essa função daqui não corta o eixo "x". Então, ela provavelmente se pareceria com alguma coisa assim (deixa eu fazer em outra cor)... com alguma coisa assim, nunca cortando esse eixo aqui. Então, essa função, essa parte da função aqui, não tem raízes reais. Então, essa função vai ter uma raiz real e duas complexas. E é por esse motivo que o gráfico "A" é o gráfico da função.