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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 10
Lição 19: Estratégia para a fatoração de expressões de segundo grauFatoração de expressões de segundo grau em qualquer forma
Reúna tudo o que aprendeu sobre a fatoração de expressões de segundo grau para fatorar diversas expressões de segundo grau em qualquer forma.
Com o que você deve estar familiarizado antes dessa lição
Os seguintes métodos de fatoração serão utilizados nessa lição:
O que você vai aprender nessa lição
Neste artigo, você vai praticar o uso combinado desses métodos para fatorar completamente expressões de segundo grau em qualquer forma.
Introdução: revisão dos métodos de fatoração
Método | Exemplo | Quando é aplicável? |
---|---|---|
Fator comum em evidência | Se cada termo do polinômio tem um fator comum. | |
Padrão soma e produto | Se o polinômio está na forma | |
Método do agrupamento | Se o polinômio está na forma | |
Trinômios quadrados perfeitos | Se o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto de suas raízes quadradas. | |
Diferença de quadrados | Se a expressão representa uma diferença de quadrados. |
Resumindo
Na prática, você raramente será informado de que tipo de método(s) de fatoração deve(m) ser usado(s) quando encontrar um problema. Então é importante que você desenvolva algum tipo de lista de verificação para ajudar a deixar o processo de fatoração mais fácil.
Aqui está um exemplo desse tipo de lista, na qual uma série de perguntas é feita para determinar como fatorar o polinômio quadrático.
Fatoração de expressões de segundo grau
Antes de iniciar qualquer problema de fatoração, é interessante escrever a sua expressão na forma padrão.
Uma vez que esse é o caso, você pode prosseguir para a seguinte lista de perguntas:
Pergunta 1: existe um fator comum?
Se não, siga para a Pergunta 2. Em caso positivo, coloque o MDC em evidência e continue para a Pergunta 2.
Se não, siga para a Pergunta 2. Em caso positivo, coloque o MDC em evidência e continue para a Pergunta 2.
Colocar o MDC em evidência é um passo muito importante no processo de fatoração, já que torna os números menores. Isso, por sua vez, faz com que seja mais fácil reconhecer padrões!
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (isso é, ou )?
Se houver uma diferença de quadrados, fatore usando o padrão . Se não, prossiga para a Pergunta 3.
Se houver uma diferença de quadrados, fatore usando o padrão
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito (por exemplo, ou )?
Se um trinômio quadrado perfeito estiver presente, fatore usando a fórmula . Se não, siga para a Pergunta 4.
Se um trinômio quadrado perfeito estiver presente, fatore usando a fórmula
Pergunta 4:
a.) Existe uma expressão na forma?
Se não, siga para a Pergunta 5. Se sim, siga para b).
b.) Existem fatores deque somam ?
Em caso positivo, use a fatoração por soma e produto. Caso contrário, a expressão de segundo grau não poderá ser mais fatorada.
Pergunta 5: Há fatores de cuja soma dá ?
Se você chegou até aqui, a expressão do segundo grau deve estar na forma em que . Se há fatores de cuja soma dá , fatore usando o método do agrupamento. Se não há, a expressão do segundo grau não pode ser fatorada além disso.
Se você chegou até aqui, a expressão do segundo grau deve estar na forma
Seguir essa lista de verificação ajudará a garantir que você tenha fatorado a expressão de segundo grau completamente!
Com isso em mente, vamos testar alguns exemplos.
Exemplo 1: fatoração de
Perceba que a equação já está na forma padrão. Nós podemos seguir para a lista de verificação.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de e é . Nós podemos colocá-lo em evidência do seguinte modo:
Sim. O MDC de
Pergunta 2: existe uma diferença de dois quadrados?
Sim. . Nós podemos usar o padrão da diferença de dois quadrados para continuar fatorando o polinômio como mostrado abaixo.
Sim.
Não existem mais termos quadráticos na equação. Nós fatoramos completamente o polinômio,
Em conclusão, .
Exemplo 2: fatoração de
A expressão de segundo grau está novamente na forma padrão. Vamos começar a lista de verificação!
Pergunta 1: existe um fator comum?
Não. Os termos , e não têm um fator comum. Próxima pergunta.
Não. Os termos
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Há um termo em então não pode ser uma diferença de quadrados. Próxima pergunta.
Não. Há um termo em
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Sim. O primeiro termo é um quadrado perfeito, já que , e o último termo é um quadrado perfeito, já que . Além disso, o termo do meio é o dobro do produto dos números que estão elevados ao quadrado, já que .
Sim. O primeiro termo é um quadrado perfeito, já que
Nós podemos usar o padrão do trinômio quadrado perfeito para fatorar a expressão de segundo grau.
Em conclusão, .
Exemplo 3: fatoração de
A expressão de segundo grau não está na forma padrão. Nós podemos reescrevê-la como e então proceder com a lista de verificação.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de , e é . Então podemos fatorar da seguinte maneira:
Sim. O MDC de
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Próxima pergunta.
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Não. Repare que não é um quadrado perfeito, então esse não pode ser um trinômio quadrado perfeito. Próxima pergunta.
Não. Repare que
Pergunta 4a: existe uma expressão com a forma ?
Sim. A expressão do segundo grau resultante, , tem essa forma.
Sim. A expressão do segundo grau resultante,
Pergunta 4b: existem fatores de cuja soma dá ?
Sim. Especificamente, há fatores de cuja soma dá .
Sim. Especificamente, há fatores de
Como e , nós podemos continuar fatorando da seguinte maneira:
Em conclusão, .
Exemplo 4: fatoração de
Observe que essa expressão de segundo grau já está na forma padrão.
Pergunta 1: existe um fator comum?
Sim. O MDC de , de é . Nós podemos fatorar da seguinte maneira:
Sim. O MDC de
Pergunta 2: existe uma diferença de quadrados?
Não. Próxima pergunta.
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 3: existe um trinômio quadrado perfeito?
Não. Próxima pergunta.
Não. Próxima pergunta.
Pergunta 4a: existe uma expressão com a forma ?
Não. O coeficiente principal no fator de segundo grau é . Próxima pergunta.
Não. O coeficiente principal no fator de segundo grau é
Pergunta 5: existem fatores de cuja soma dá ?
A expressão de segundo grau resultante é , então queremos encontrar fatores de cuja soma dá .
A expressão de segundo grau resultante é
Como e , a resposta é sim.
Agora nós podemos escrever o termo do meio como e usar o método de agrupamento para fatorar:
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- fatore usando a diferença de dois termos ou trinomio quadrado perfeito:
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