Triângulo de Pascal e expansão binomial

RKA - No último vídeo eu fiz uma explicação de como usar essas fórmulas aqui, esse Teorema do Binômio para fazer, por exemplo, potências de "(a + b)" elevado à quarta potência. Só que agora eu vou mostrar para vocês, deixa eu pegar um pouco mais de espaço aqui, uma outra maneira que eu acho sinceramente mais divertida do que essa de fazer isso, porque é uma maneira um pouco mais gráfica, uma maneira um pouco mais visualizável, a gente consegue observá-la e ver como ela funciona e eu sinceramente acho isso mais divertido. Então, o que nós vamos usar nessa aula é o Triângulo, Triângulo de Pascal, de Pascal. E o Triângulo de Pascal é uma maneira mais fácil de a gente conseguir chegar no mesmo resultado que a gente queria, por exemplo, "(a + b)" elevado à quarta potência. Eu vou pegar essa mesma potência elevada à quarta para vocês verem que vai ser um pouco mais simples do que fazer todas essas contas, usar todas essas fórmulas daqui. Então o que a gente faria antigamente, no último vídeo? A gente pegaria simplesmente colocaria esse "(a + b)" elevado à quarta aqui como a gente fez, trocaria os valores aqui na fórmula, trocaria isso aqui, isso daqui, depois faria essa parte aqui de análise combinatória e isso demandaria muito trabalho e sinceramente é um pouco entediante fazer isso daqui porque são muitos números e é muito fácil de se perder, muito fácil de errar uma coisa no meio. Então, por isso, eu vou ensinar a vocês esse outro método que é o Triângulo de Pascal. Então, vamos começar com o Triângulo de Pascal, eu vou começar a escrever ele aqui de branco, vai ficar uma cor boa para vocês enxergarem, então vamos lá. Na primeira linha, vou colocar o número 1 aqui e agora eu quero pegar e fazer outra camada nessa pirâmide. Nós vamos fazer uma pirâmide assim, mais ou menos vai ficar bem com cara de pirâmide, e esse 1 é como se estivesse aqui no topo. E eu quero agora fazer as diferentes camadas dessa pirâmide, e cada camada vai corresponder a uma potência disso daqui, então a gente vai ter que fazer cinco camadas para chegar na potência quatro. Então, deixa eu apagar isso daqui que eu fiz, a gente não vai precisar dessa pirâmide daqui. E agora a gente pode começar. Indo para a segunda camada da pirâmide, a gente tem um caminho que leva de novo até o número 1 e outro caminho que leva a outro número 1. Essa é nossa primeira camada da pirâmide. E é interessante perceber que aqui foi o número 1, eu gosto de pensar assim, que a gente chegou nesse número 1 porque existe um caminho que leva desse 1 até esse 1. Se a gente for fazer agora a próxima linha, a próxima camada, a gente vai ver que, por exemplo, existe aqui um caminho que leva até isso daqui, ou seja, só caminhar por aqui, essa linha daqui, só que existem 2 caminhos, dois caminhos, deixa eu fazer esse 2 melhor aqui, 2 caminhos que levam até isso daqui. Então, a gente tem que passar por aqui ou por aqui e para cá um caminho como esse caso daqui. Agora, indo para a próxima camada, eu vou fazer tudo de novo aqui essas linhas, próxima camada, nas pontas como vocês já devem estar imaginando vai ser um caminho de chegar até aqui. Aqui, vão ser três caminhos, 2 mais 1, vocês já devem ter percebido isso que é sempre a soma dos que estão em cima daqui, então 2 mais 1, é 3, porque existem três caminhos. Posso pegar esse caminho, eu posso pegar esse caminho, ou eu posso pegar esse caminho aqui e aqui também três caminhos, 2 mais 1 dá 3. E, agora, eu vou fazer a última linha que é a linha que faltava para o nosso Triângulo de Pascal. Aqui eu vou começar a desenhá-la. Então, aqui na ponta, 1 novamente, 1 novamente, aqui vai dar 4, são 4 caminhos de chegar até aqui se vocês tiverem tempo vocês podem fazer os caminhos manualmente aqui e observar que existem somente quatro caminhos para chegar até aqui. Aqui, vão ser 6 porque dá 3 mais 3, 6 caminhos para chegar aqui, e aqui de novo 4. Então aqui vocês já devem ter percebido aquele mesmo padrão que a gente chegou lá em cima e que vai 1 aqui, 1, 4, 6, 4 e 1 de novo. Então, para provar que isso daqui realmente funciona, que o Triângulo de Pascal realmente funciona, eu vou pegar esses coeficientes daqui que a gente acabou de achar. Eu vou botar eles aqui 1, 4, 6, 4 e 1. E agora eu vou poder pegar e, como a gente fez lá em cima, eu vou começar a fazer isso, agora a gente tem que descobrir quais potências a gente vai botar de "a" e "b" aqui, que é o que falta para a nossa expansão binomial. Então, aqui, por exemplo, eu poderia ter "a", "b", "ab", "ab". Como é que eu vou saber como é que eu vou saber qual é 1, qual que é 4, qual que é 3? Como é que eu vou saber o quê botar em cada um desses termos da expansão? Então, para isso, a gente pega e vamos começar assim: esse é o primeiro termo a potência 4, então eu vou usar aqui "a" elevado a 4. Aqui, eu vou usar "a" elevado a 3, aqui eu vou usar "a" elevado a 2, aqui eu vou usar "a" elevado a 1, o que é "a" e aqui eu vou usar "a" elevado à zero que é 1. E agora falta o "b", então aqui "b" elevado a zero, vou fazer o contrário desse caminho aqui do "a". Aqui, vai ser "b" elevado a 1, "b" elevado a 2, "b" elevado a 3, "b" elevado a "4". O interessante é perceber que, se aqui eu começasse com "b" elevado a 4 e "a = 0" daria o mesmo resultado que eu fiz começando com o "a", então tanto faz o caminho que vocês decidirem fazer aqui. E agora só falta somar todos esses termos. E a gente acabou de descobrir o valor de "(a + b)" elevado a 4 e é tudo isso daqui. E agora é interessante também imaginar por que que isso aqui funciona. Então, aqui seria, no caso, a potência "a" elevado a zero, esse "a" pode ser qualquer número mas eu vou botar aqui só para você ter uma noção. Então, aqui seria "a" elevado a 1, aqui seria "a" elevado a 2, aqui "a" elevado a 3 e aqui o nosso "(a + b)" elevado à 4ª potência. Então, só aqui as potências e botei para baixo aqui. E uma maneira interessante de imaginar porque isso daqui funciona é o seguinte: eu vou pegar uma potência aqui: (a + b)². Se a gente for expandir esse termo a gente vai chegar em (a + b) que multiplica (a + b), e o resultado disso vai ser a² + ab + ab de novo, que no caso é "ba" mas vamos botar "ab" porque é a mesma coisa, + b². E, olhando para cá, só existe uma forma, uma forma de eu chegar em "a²". Então, aqui, uma maneira. Existem duas maneiras de eu chegar em "ab", seja multiplicando "b" por "a"' ou multiplicando esse mesmo "a" por "b", ou seja, existem duas formas. Existe também uma única forma de chegar em "b²". Então, somando isso daqui tudo a gente teria a² + 2ab + b² que é justamente os coeficientes dessa progressão aqui 1, 2 e 1. Espero que esse vídeo tenha ajudado. Muito obrigado, até o próximo.