Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:7:22

Transcrição de vídeo

RKA - A gente precisa encontrar o vértice e o eixo de simetria desse gráfico. O objetivo de resolvermos esse problema é para que entenda o que é o vértice e o eixo de simetria; e apenas para refrescar sua memória: se uma parábola tem essa aparência, o vértice é o ponto mínimo aqui, ou seja, sempre teremos um ponto mínimo aqui para parábolas com abertura para cima. Se a abertura da parábola estiver virada para baixo, como esta, o vértice é o ponto máximo, como esse (é o ponto máximo). O eixo de simetria é a reta na qual é possível refletir a parábola; esse é o eixo de simetria, é o reflexo do lado esquerdo ao longo do eixo de simetria. O mesmo ocorre se for uma parábola com abertura para baixo. E a forma geral de dizer a diferença entre uma parábola com abertura para cima e uma parábola com abertura para baixo é que essa terá um coeficiente positivo no termo do "x²"; essa terá um coeficiente negativo. Veremos isso com um pouco mais de detalhes. Agora, para determinar o vértice, tem uma fórmula rápida e fácil, mas eu não vou demonstrar essa fórmula aqui porque ela realmente não diz nada sobre como chegou até ali. Mas vou mostrar como aplicar a fórmula no final desse vídeo, caso se depare com ela em uma prova de matemática e queira resolvê-la de forma realmente rápida. Mas, primeiro, vou resolver o problema de forma lenta e intuitiva. Assim, vamos pensar em como podemos encontrar o ponto máximo ou mínimo dessa parábola. A melhor forma que posso pensar para fazer isso é completando o quadrado. Pode parecer um conceito muito estranho nesse momento, mas vamos fazê-lo passo a passo. Posso reescrever a função como: "y" igual a... bom, posso fatorar -2... é igual a "-2 ‧ (x² - 4x - 4)". Vou colocar o -4 aqui fora. É aqui onde irei completar o quadrado. Agora, o que eu quero fazer é expressar o que está entre parênteses como a soma de um quadrado perfeito, e então algum número por aqui. Tenho "x² - 4x". Se quisesse que esse fosse um quadrado perfeito, ele seria um quadrado perfeito se tivesse um +4 por aqui. Se tivesse um +4 por ali, então isso seria um quadrado perfeito; seria "(x - 2)²". Teria 4 porque, como eu disse, desejo qualquer que seja a metade desse número; assim, a metade de -4 é -2; elevando-o ao quadrado tem um +4 bem ali. Mas não posso apenas somar um 4 aleatoriamente a um lado de uma equação; ou eu somo ele do outro lado ou tenho que subtraí-lo; assim, até aqui não alterei a equação: somei 4 e em seguida subtraí 4. Apenas somei zero a essa pequena expressão aqui. Não ocorreu nenhuma alteração. Mas o que isso me permite fazer é expressar essa parte bem aqui como um quadrado perfeito: "x² - 4x + 4" é a mesma coisa que "(x - 2)² É (x - 2)². Assim, você tem -2 multiplicando tudo, e tem "-4 - 4"... -8, simples assim. Então, "y" é igual a -2 vezes tudo isso. Agora podemos multiplicar e obter -2 de novo. Assim, podemos distribuí-lo: "y" é igual a -2 vezes (x - 2)²... -2 vezes -8 é igual a +16. Tudo o que eu fiz foi organizar algebricamente essa equação, mas o que isso nos permite fazer é imaginar qual é o ponto máximo ou mínimo dessa equação. Vamos explorar isso um pouco. Esse valor bem aqui: (x - 2)². Se estiver elevando algo ao quadrado, será sempre um valor positivo. Aquele ali é sempre positivo. Mas está sendo multiplicado por um número negativo. Se olhar em um contexto mais amplo, olhar no valor sempre positivo multiplicado por -2, ele será sempre negativo. Quanto mais positivo esse número se torna, quando o multiplica por um número negativo, mais negativa se torna toda a expressão. Se pensar a respeito, essa será uma parábola com abertura para baixo. Nós extraímos um coeficiente negativo daqui. O ponto máximo nesta parábola com abertura para baixo é quando essa expressão é a menor possível. Se por acaso ela aumentar, basta multiplicar por um número negativo e em seguida subtrair de 16. Então, se esta expressão aqui for zero, então temos nosso valor máximo de "y", que é 16. Como obtemos "x = 0" aqui? Bom, a forma é obter "x - 2 = 0", então vamos lá. "x - 2 = 0", isso acontece quando "x = 2". Então, quando "x" é igual a 2, essa expressão é igual a 0. Zero vezes um número negativo é zero, "y" é igual a 16. Esse é o nosso vértice, nosso ponto máximo. Concluímos isso apenas considerando a álgebra: que o valor mais alto que essa função pode atingir é 16. Conforme "x" se afasta de 2 no sentido positivo ou negativo, esse valor aqui pode ser negativo ou positivo; mas ao ser elevado ao quadrado ele se tornará positivo. Quando multiplicado por -2, se tornará negativo e será subtraído de 16. Assim, nosso vértice aqui é "x = 2". Na verdade, digamos que cada uma dessas unidades seja igual a 2. Então temos: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Meu vértice está aqui. Esse é o ponto máximo para essa parábola. E seu eixo de simetria será ao longo do eixo "x = 2" (ao longo do eixo vertical "x = 2"). Esse será seu eixo de simetria. Agora, se estivermos curiosos quanto a alguns outros pontos apenas porque desejamos esboçar esse gráfico, a gente pode questionar o que acontece quando "x" é igual a zero. Essa é fácil: quando "x" é igual a zero, o "y" será igual a 8. Então, quando "x" é igual a zero, temos esses... são... (de dois em dois)... 2, 4, 6, 8. Bem aqui. Esse é um eixo de simetria. Quando "x" é igual a 4, "y" também será igual a 8. Essa parábola é realmente estreita e fechada, com essa aparência onde esse aqui é o ponto máximo. Eu disse que essa era a forma lenta e intuitiva de resolver o problema. Se quiser uma forma rápida e fácil de determinar um vértice, existe uma fórmula que pode determinar, realizando exatamente esse mesmo processo que executamos; mas a fórmula para o vértice, ou o valor de "x" do vértice, ou o eixo de simetria, é "x" é igual a "-b" sobre "2a". Então, se aplicarmos isso (mas lembre-se: essa é apenas a aplicação de uma fórmula! Queria mostrar a forma intuitiva devida à qual a fórmula existe); mas se apenas aplicar a fórmula, terá: qual é o "b" aqui? "x" é igual a menos... "b" aqui é 8... 8 sobre "2a"... "a" aqui é -2. 2 vezes -2. Isso será igual a quê? É -8, sobre -4, que é igual a 2, que é exatamente o mesmo valor que obtivemos racionalizando. E quando "x" é igual a 2, "y" é igual a 16, exatamente o mesmo resultado. O ponto é (2, 16).