Inequações do segundo grau: abordagem gráfica

RKA - Bem-vindo à apresentação sobre inequações quadráticas. Antes de começar com as inequações quadráticas, vamos começar fazendo os gráficos de algumas funções e interpretando-os; daí, lentamente, a gente vai para as inequações. Digamos que eu tenha função "f(x) = x² + x - 6". Se a gente quiser descobrir onde esta função cruza o eixo "x", ou as raízes dela, aprendemos na fatoração quadrática que é apenas fazer "f(x) = 0", certo? Porque a função de "x" é igual a zero quando cruza o eixo "x". A gente diz que "x² + x - 6 = 0", e basta fatorar essa equação quadrática: "(x + 3) ‧ (x - 2) = 0". Aprendemos que as raízes dessa função quadrática são: "x = -3" e "x = 2". Como podemos visualizar isso? Bom, vamos desenhar essa função quadrática. Essas são minhas retas. As raízes são "x = -3" (é isso bem aqui, "x" está em -3) e "y = 0" (por definição, as raízes estão onde a função de "x = 0"). O "y", ou a função de "x" aqui, é zero. A coordenada é zero. Esse ponto aqui é (2, 0). Novamente, este é o eixo "x" e essa é a função de "x". Sabemos também que o "y" cruza em -6. Esse não é o vértice, isso é onde "y" cruza. O gráfico vai ficar mais ou menos assim. Não tão torto como eu desenhei, mas eu acho que dá para ter a ideia geral se você já viu uma parábola simples. É desse jeito. Com "x = -3" aqui, e "x = 2" aqui. Bem simples, descobrimos as raízes. Vimos como elas são. Agora, se nós, em vez de querermos saber onde a função de "x = 0", que são esses dois pontos, e se quisermos saber onde a função de "x" é maior que zero? Que valores de "x" tornam a função de "x" maior que zero? Ou outra maneira de dizer: que valores tornam a sentença verdadeira "x² + x - 6" maior que 0? Certo? Esta é a função de "x". Se olharmos no gráfico, quando "f(x)" é maior que zero? Esse é o eixo da função de "x". E quando estamos no território positivo? Bom, a função de "x" é maior que zero aqui... (deixa eu desenhar isso de outra cor)... é maior que zero aqui, certo? Porque está acima do eixo "x". A função de "x" é maior que zero aqui. Apenas visualizando, que valores de "x" tornam isso verdadeiro? Bom, isso é verdadeiro sempre que "x" for menor que -3 (certo?), ou sempre que "x" for maior que 2. Porque. quando "x" é maior que 2, "f(x)" é maior que zero; e, quando "x" é menor que -3, a função de "x" é maior que zero. Então, podemos dizer que a solução desta inadequação quadrática... e, basicamente, resolvemos visualmente... é "x" é menor que -3, ou "x" é maior que 2. E podemos testar a resposta, podemos tentar usar o número -4. Vamos obter a função de "x" maior que zero. Podemos tentar aqui. Ou podemos tentar o número 3 para ter certeza de que funciona. A gente pode ter certeza que, por exemplo, tentar o número zero para garantir que zero não funciona (tá? porque zero está entre as duas raízes). Na verdade, acontece que, quando "x = 0", a função de "x = -6", que é definitivamente menor que zero. Eu acho que isso dá uma intuição visual do significado dessa inequação quadrática. Agora, com essa intuição visual em mente, vamos resolver alguns problemas, e, talvez, sem ter que ter o trabalho de desenhar (mas talvez eu desenhe só para ter certeza de que o ponto foi entendido). Vamos pegar um problema um pouco mais difícil. Digamos que temos "-x² - 3x + 28". Digamos... é maior que 0. Eu quero me livrar desse sinal negativo na frente do "x²" (não gosto dele aí porque deixa mais confuso para fatorar). Eu vou multiplicar tudo por -1. Os dois lados. Obtenho "x² + 3x - 28". E, quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo em qualquer inequação, temos que mudar o sinal. Então, isso vai ficar menor que zero. E, se tivéssemos que fatorar, a gente obteria "(x + 7) ‧ (x - 4)" menor que zero. Se isso fosse igual a zero, saberíamos que as duas raízes dessa função... vamos definir a função de "x"... vamos definir a função como "f(x)" é igual a... bom, podemos definir assim ou assim, pois são a mesma coisa, mas para simplificar, vamos definir como: "(x + 7) ‧ (x - 4)". Essa é a "f(x)". Bom, depois de fatorar, a gente sabe que as raízes são "x = -7" e "x = 4". Agora, o que queremos saber é: que valores de "x" tornam esta inequação verdadeira? Se fosse uma equação teríamos terminado, mas queremos saber o que torna esta desigualdade verdadeira. Eu vou mostrar um pequeno truque: sempre serão os números entre as duas raízes ou fora das duas raízes. O que eu faço sempre que estou fazendo isso numa prova é testar os números que estão entre as raízes ou fora das duas raízes. Vamos escolher um número entre "x = -7" e "x = 4". Vamos tentar... "x = 0". Bom, "f(0)" é igual a...? Podemos fazer bem aqui: "f(0)" é "0 + 7" que multiplica (0 - 4), que é 7 vezes -4, que é -28. "f(0)" é -28. Agora, isso... essa é a função que estamos estudando. Isso é menor que zero? Bom, sim, é. É verdade que um número... um valor de "x" entre as duas raízes funciona; na verdade, eu imediatamente sei que a resposta aqui são todos os valores de "x" que estão entre as duas raízes. Podemos dizer que a solução é: -7 é menor que "x" que é menor que 4. Agora, no outro sentido poderíamos tentar um número fora das duas raízes, ou menor que -7 ou maior que 4, e comprovar. Vamos dizer que tentamos o 5. Tente "x = 5". A função de 5 seria 12 vezes 1 (certo?), que é igual a 12. "f(5)" é 12. Isso é menor que zero? Não, então não funciona. Mais uma vez, isso nos dá confiança de que temos o intervalo correto. Se quisermos pensar visualmente (porque já temos essa resposta)... quando fazemos visualmente, isso faz bastante sentido, mas talvez seja parcial. Se pensarmos visualmente, fica assim: (opa, está muito largo)... se a gente desenhar visualmente, esta é a parábola. Essa é "f(x)". As raízes são (-7, 0) e (4, 0). Estamos dizendo que, para todos os valores de "x" entre esses dois números, "f(x)" menor que zero. Isso faz sentido porque quando "f(x)" é menor que zero? Bom, esse é o gráfico de "f(x)". Quando "f(x)" é menor que zero? Bem aqui. Que valores de "x" nos dão isso? Bom, os valores de "x" que nos dão isso estão bem aqui. Espero não te confundir muito com esses gráficos. Provavelmente está dizendo: "bom, como eu sei que não incluo o zero?" Podemos tentar, mas se você... bom, por que não incluo as raízes? Bom, nas raízes, "f(x) = 0". Então, se isso for isso... se isso fosse menor ou igual a zero, então a resposta seria -7 é menor ou igual a "x" que é menor ou igual a 4. Espero que faça sentido. Apenas temos que testar os números entre as raízes e testar os números fora das raízes, e isso vai nos dar um intervalo que torna a desigualdade verdadeira. Vejo vocês na próxima apresentação.