Inequações do segundo grau

RKA - Digamos que queremos solucionar a inequação quadrática ou do segundo grau "x² + 3x > 10", a gente quer calcular todos os "x" que devem satisfazer essa inequação. Sugiro que pausem agora esse vídeo. Eu vou dar uma dica: tente manusear essa inequação como se ela fosse uma equação quadrática. Conforme estiver chegando ao fim, tente raciocinar a respeito, porque o raciocínio pode fazer você ir um pouco mais adiante do que o de hábito. Estou assumindo que começou. Então, a primeira coisa que devemos fazer para resolver é subtrair 10 dos dois lados. Se subtrair 10 dos dois lados, no lado esquerdo vamos ter "x² + 3x - 10" mantenho o sinal de maior que zero. Se somar ou subtrair a mesma coisa dos dois lados não estamos mudando a inequação; vai ser maior que zero. "10 - 10" é zero Agora, está escrito de uma forma com a qual estamos mais acostumados a ver em equações quadráticas. Se fosse um sinal de igual bem aqui, iríamos fatorar isso; então, vamos tentar fatorar também, e ver o que acontece. Vamos pensar sobre dois números cujo produto é "-10" e cuja soma é "+3" (e tivemos muitos exercícios onde fizemos isso). Se pensar sobre os fatores de 10 eles são: "1", "2", "5" e "10". 2 e 5 parecem tentadores porque sua diferença é 3. Se tem "+5" e "-2" parece dar certo: "+5" e "-2" seu produto é "-10", sua soma é "+3". Poderíamos reescrever como "x + 5"... (deixa eu fazer naquela cor amarela, de forma que veja de onde esse 5 vem)... "x + 5" vezes "x - 2" vai ser maior que zero. Agora, se isso aqui for uma igualdade, a gente pode falar... bom, como fazer para obter isso é igual a zero? Se uma dessas coisas for igual a zero, então, toda essa expressão vai ser igual a zero, porque zero vezes qualquer coisa é zero. Mas não tem uma igualdade, tem um símbolo de "maior que". Vamos pensar sobre como poderia raciocinar através disso e vou raciocinar um pouco aqui do lado. Se eu considerasse os números "a" e "b" e se fizer um produto de "a" vezes "b", e, se alguém te dissesse que o produto é maior que zero, o que poderia afirmar sobre "a" e "b"? A gente pode afirmar que eles têm o mesmo sinal, os dois são positivos (um positivo vezes um positivo vai ser um positivo), ou os dois vão ser negativos (um "menos" vezes um "menos" é um positivo), vai ser maior que zero, a gente sabe o mesmo aqui. Deixa eu escrever isso embaixo. A gente sabe tanto que "A" é maior que zero, como "B" é maior que zero. Então, os dois são positivos ou os dois são negativos (ou "A" é menor que zero, e "B" é menor que zero). Assim, se aplicar essa mesma lógica, a gente pode considerar que esse "x + 5" é nosso "A", e que esse "x - 2" é nosso "B". Tem o produto de duas coisas, o produto é maior que zero, isso significa que as duas expressões são positivas ou as duas são negativas. Então, vamos escrever isso embaixo. Vou escrever assim: as duas expressões são positivas, tanto "x + 5" é maior que zero, como "x - 2" é menor que zero... opa, é maior que zero. Deixa eu escrever assim: ou as duas são negativas, "x + 5" é menor que zero, e "x - 2" é menor que zero. Agora, vamos pensar sobre todas essas inequações de forma independente, mas vamos manter essa lógica aqui do "e" e do "ou". Vamos olhar para isso. Os dois são positivos; então, se as duas expressões são positivas, o que sabemos sobre "x"? Se subtrair 5 dos dois lados desta inequação, tem que "x" é maior que "-5", e, se somar 2 a esta inequação (aos dois lados dessa inequação), vai ter que "x" é maior que 2. Então, se "x" é maior que "-5", e "x" é maior que 2, o que sabemos em relação a "x"? Qualquer "x" que seja maior que 2 vai ser maior que "-5", então, dá para simplificar aqui para dizer que "x" é maior que 2. Tudo isso equivale a dizer que "x" é maior que 2, pois, claramente, algo que seja maior que 2 vai satisfazer isso e os dois casos têm que ser verdade. Por exemplo, "x = -4" deveria satisfazer essa inequação, mas não essa. Então, o "e" iria falhar. E "-4" não satisfaz nenhum desses. Para satisfazer os dois, necessariamente, tem que satisfazer cada uma das condições. Então, essa expressão simplificada, para esta, fica aqui. E quanto a esta? Quanto a esta expressão aqui em cima "x + 5 < 0"? Subtraímos 5 dos dois lados "x" é menor que "-5". Somando 2 aos dois lados dessa equação, você tem que "x" é menor que 2. Agora, se "x" é menor que "-5" "e" "x" é menor que 2, o que sabemos sobre "x"? Bom, isso significa que "x" tem que ser menor que "-5". Se é menor que "-5", vai ser, definitivamente, menor que 2, e tem que nos lembrar que há este "ou" este, isso de fato descreve a solução indicada para esta inequação quadrática. "x" vai ser maior que 2 ou "x" vai ser menor que "-5". Na verdade, a gente poderia marcar essa solução numa reta numérica. Assim, se isso aqui em cima é nossa reta numérica, e digamos que aqui é zero, isso é "1", o "2" aqui, isso é "-1", "-2", "-3", "-4", "-5". "x" poderia ser maior que 2 (não maior ou igual), então, vou pôr uma bolinha aberta aqui. Assim, poderia ser maior que 2. Ou menor que "-5", então vou pôr uma bolinha aberta aqui, e também dá para ser menor que isso. "x" poderia ser qualquer número, poderia ser "-6". "-6" satisfaria isto. "(-6)²" é 36, mais "-18" que vai dar... 18, que é maior que 10. Ou poderia ter, digamos, "+3" deve funcionar. "(3)²" são 9, mais outros 9 vai ser 18, que, de novo, é maior que 10. Maravilha!