Inequações do segundo grau (exemplo 2)

RKA - Temos a desigualdade "- x" vezes "2x -14" é maior ou igual a 24. Peço que pare o vídeo e pense sobre qual seria o conjunto de soluções para esta desigualdade e mapeie o conjunto de soluções numa reta numérica. Bom, vou considerar que você tentou. Agora, vamos tentar simplificar um pouco. Do lado esquerdo, dá para substituir esse "-x"; e, se fizer isso, teria "-2x²"... (negativo vezes negativo é positivo)... mais "14x" é maior ou igual a 24. Agora, vou subtrair 24 dos dois lados para poder obter zero e dá para pensar em faturar o que sobrar do lado esquerdo, Daí, a gente vai ter "-2x² + 14x". Vou subtrair 24 dos dois lados. "-24" é maior ou igual a... (subtraí 24 do lado direito)... isso será maior ou igual a zero. Agora, eu não gosto de ter esse "-2" na frente. Quero dividir o lado esquerdo por "-2", mas não posso dividir o lado esquerdo somente por "-2", tenho que dividir o lado direito também. Toda vez que eu multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um número negativo, isso vai inverter o sinal da desigualdade. Se eu dividir os dois lados por "-2", vou ficar com "x" positivo ao quadrado menos... estou dividindo por "-2", então, menos "7x" mais 12. Agora, como eu dividi por "-2", vou virar esta desigualdade como sendo menor ou igual a zero; dividido por "-2" é zero. Isso simplificou bem as coisas. Agora, vamos ver se podemos fatorar essa expressão quadrática. Dois números com um produto de 12 positivo quer dizer que eles terão o mesmo sinal e que somam "-7". Se tenho o mesmo sinal e a soma é "-7", quer dizer que os dois serão negativos; e, vejamos, "-3" e "-4" parece que funciona. O produto dos dois é 12, a soma é "-7". Dá para escrever como "x - 3" vezes "x - 4" será menor ou igual a zero. Então, agora, esse é o ponto onde vamos usar um pouco de lógica. Se o produto de duas coisas é menor ou igual a zero, o que nos diz? O que sabemos sobre isso? Bom, nos diz que ou um deles, ou os dois, vai ser zero, ou eles têm sinais diferentes. A única maneira de obter algo menor que zero é se um for positivo e outro negativo, ou um negativo e o outro positivo; se eles tiverem sinais diferentes. Vamos escrever... ou "x - 3" é menor ou igual a zero, e "x - 4" é maior ou igual a zero ("x - 4" é maior ou igual a zero). Muito bem! Perceba que esse não é positivo e esse não é negativo, ou são iguais a zero ou eles têm sinais diferentes. Essa é uma situação. Ou, ao contrário, ou "x - 3" não é negativo (é maior ou igual a zero) "e" "x - 4" não é positivo ("x - 4" é menor ou igual a zero). Mais uma vez, ou eles são iguais a zero ou têm sinais diferentes, é só isso que estou fazendo com esse exercício de lógica. Como isso se simplifica? "x - 3" é menor ou igual a zero. Somamos 3 dos dois lados e tenho "x" é menor ou igual a 3, e "x - 4" é maior ou igual a zero. Se somar 4 dos dois lados, vai ter "x" é maior ou igual a 4. Quais valores de "x" serão menores ou iguais a 3 "e" maiores ou iguais a 4? Qualquer coisa que seja menor ou igual a 3 não será maior ou igual a 4; e qualquer coisa que seja maior ou igual a 4 não será menor ou igual a 3. Não existe um valor de "x" que possa satisfazer esta situação. Não existe um valor de "x" que possa resultar nisto sendo negativo e nisto sendo ou este sendo não positivo e este sendo não negativo. Então, vamos passar para esse aqui. Se somar 3 dos dois lados, tem "x" é maior ou igual a 3 e tem, somando 4 dos dois lados, "x" é menor ou igual a 4. Faz sentido que algo possa ser maior ou igual a 3, e menor ou igual a 4? Claro, por exemplo: 3 é maior ou igual a 3 e é menor ou igual a 4. 4 é maior ou igual a 3 e é menor ou igual a 4. E tudo que está no meio. Então, podemos mapear o conjunto de soluções. Só isso que importa porque não existe uma situação onde seria verdadeiro. Esta é a única coisa que vai tornar aqui parcialmente verdadeiro, e esta parte sempre será falsa. Se quiser montar o conjunto de soluções deveria ficar, mais ou menos, assim: esses são os valores possíveis de "x", digamos que é zero, então, é "1", "2", "3" e "4". "x" poderia ser maior ou igual a 3, é maior ou igual a 3, mas, também, tem que ser menor ou igual a 4 (não dá para ir além do 4)... também menor ou igual... (já que é menor ou igual e dá para pintar esses pontos)... menor ou igual a 4... qualquer coisa dentro dessa variação, incluindo 3 e 4. É por isso que circulamos os pontos e isso satisfaz esta equação aqui. E, se quisesse pensar sobre isso visualmente, a gente sabe que são parábolas. Como isso está relacionado com esse conjunto de soluções que acabamos de determinar aqui? Vamos dar uma olhada em um deles. Digamos que olhar para esse formato aqui. Então, tudo o que fizemos é só outra forma de pensar sobre "-2x² + 14x - 24" é maior ou igual a zero. Aqui tem um coeficiente negativo no termo "x²", isso vai ser uma parábola com abertura descendente. Então, o que é maior ou igual a zero? Se pensar sobre a parábola com a abertura descendente, ela poderia ser mais ou menos assim (se estiver pensando em duas dimensões). E, se considerar como sendo o eixo "x", quando é maior ou igual a zero? É maior ou igual a zero e está acima do eixo "x" nesta extensão de "x" aqui. Essa é uma forma de pensar sobre isso; e, se pensar sobre... desde o ponto de vista, não dessa parábola, mas desta outra parábola quando "x² - 7x + 12" é menor ou igual a zero, vai ser uma parábola com a abertura crescente, tem um coeficiente positivo aqui. Essa parábola poderia ser mais ou menos assim. Quando é menor ou igual a zero, mais uma vez, é menor ou igual a zero nessa mesma extensão.