Resolução de equações do segundo grau calculando raízes quadradas: desafio

RKA - Neste vídeo vou fazer vários exemplos de equações de segundo grau de uma forma especial, e é um aquecimento para o próximo vídeo que vamos mostrar, como completar quadrados para resolver equações desse tipo. Vou mostrar sobre o que estou falando. Digamos que eu tenha 4x, +1 ao quadrado, -8, igual a 0. Pelo que vimos até agora, pode querer multiplicar e depois subtrair 8 da constante e depois tentar fatorar e aí vai ficar com x menos alguma coisa, vezes, x menos outra coisa, é igual a zero. Aí vai achar que um deles tem que ser igual a zero ou isso ou isto. Não vamos fazer isso desta vez porque podemos ver algo interessante aqui. Podemos resolver a equação sem fatoração. Como? O que acontece se somar 8 aos dois lados da equação? O lado esquerdo da equação se torna (4x + 1)², os 8 se anulam, o lado direito vira simplesmente 8. O que podemos fazer aos dois lados da equação, isto é uma forma simples de solucionar uma equação, não tem nada de fatoração sofisticada, podemos calcular a raiz quadrada dos dois lados da equação. A raiz quadrada, então, "x" "x" não. 4x + 1. Só estou calculando a raiz quadrada e eu a cálculo dos dois lados. E, claro, precisamos da raiz quadrada positiva e negativa, porque 4x + 1 pode ser a raiz positiva de 8 ou a raiz negativa de 8. 4x + 1 é igual a raiz quadrada positiva ou negativa de 8. Em vez de 8, vou escrever 8 como 4 × 2. Sabemos que 8 é isso. E a √₍₄ₓ₊₁₎² é 4x + 1. Então, ficamos com 4x + 1 é igual a, dá para fatorar o 4, ou a √₄ que é 2, é igual a mais ou menos, vezes 2×√₂. Certo? A √₄ × √₂ = ± √₄ × √₂, e isso é igual a ± √₄ que é igual ao 2 aqui. Pode parecer uma equação bizarra com ± 2×√₂, mas não é. Esses são dois números. Estamos solucionando duas equações ao mesmo tempo. A gente poderia escrever como 4x + 1 que é igual a 2√₂ ou 4x + 1 que é igual a -2×√₂. Esta sentença é equivalente a esta porque temos esse maior ou menor aqui, esse ou. Vou solucioná-las simultaneamente. Seu subtrair 1 dos dois lados da equação, fico com o quê? Do lado esquerdo ficou com 4x. Do lado direito, não dá para calcular sem usar a calculadora. Mas eu vou deixar como -1 ± 2 × √₂. 4x é igual a isso. Se a gente solucionasse separadamente, seria a mesma ideia. Se subtrair um dos dois lados da equação, ficamos com 4x = -1 + 2×√₂. Aqui subtrai 1 dos dois lados. 4x = -1 - 2 × √₂. Essa sentença aqui é totalmente equivalente a essas duas sentenças. O último passo é dividir os dois lados por quatro. Vamos dividir os dois por 4. E, ficamos com x = -1 ± 2×√₂ sobre 4. Essa sentença equivalente a dividir cada uma dessas por 4, e você fica com x = -1 + 2×√₂ sobre 4. Esta é uma solução. A outra solução é x = -1 -2×√₂, tudo isso sobre 4. Estas sentenças são equivalentes. Vamos substituir uma delas de volta só pra ver que, algo tão bizarro quanto essas expressões, pode ser a solução para uma equação simples. Vamos substituir de volta. 4 × (-1 + 2√₂) sobre 4 + 1² - 8 = 0. Os 4 se anulam e você fica com (1 + 2√₂ + 1)² - 8 = 0. O - 1 e 1 se anulam, e fica com (2√₂)² - 8 = 0 E vamos ficar com o quê? Elevado ao quadrado, ficamos com 4 × 2 - 8 = 0. O que é verdade, 8 - 8 é igual a 0. E, se tentar com essa vai obter a mesma resposta. Vamos fazer outro. Estas são formas especiais, então tem quadrados de binômios nas expressões. E, veremos que a fórmula de Bhaskara deriva de uma noção assim, porque é possível transformar qualquer equação de segundo grau em um quadrado perfeito igual à outra coisa. Veremos mais adiante. Mas vamos nos acostumar a ver esse tipo de coisa. Digamos que tem x² - 10x + 25 = 9. De novo, a tentação seria subtrair 9 dos dois lados pra ficar com um 0 à direita, mas antes de fazer isso, analise. Trata-se do quadrado perfeito de um binômio? Quais dois números que multiplicados dão 25 e que somados dão -10? E a resposta é -5. Então, esta expressão aqui é (x - 5) × (x - 5). O lado esquerdo pode ser escrito como (x - 5)² e o lado direito continua sendo 9. E, eu quero enfatizar bem. Não quero estragar tudo o que aprendeu em fatoração. Eu só digo que pode fazer isto quando for um quadrado perfeito. Se fosse (x - 4) × (x + 4) e isso seria igual a 9, não daria certo. Você não chegaria a nada construtivo. Só por ser um quadrado perfeito é que pode dizer que (x - 5)² = 9. Agora dá para calcular a raiz quadrada dos dois lados. Dá pra falar que (x - 5) = ± 3. Somando 5 aos dois lados da equação, ficamos com o x = 5 ± 3. Ou "x" é igual a, quanto dá 5 + 3? "x" pode ser 8 ou "x" pode ser igual a 5 - 3 ou x = 2. Poderíamos ter solucionado esta equação de segundo grau da forma tradicional. O que acontece se subtrair 9 dos dois lados da equação? Ficamos com um x² - 10x. E quanto dá 25 - 9? 25 - 9 dá 16. E isso seria igual a 0. Esse seria um problema de fatoração tradicional, do tipo que vimos nos últimos vídeos. Quais dois números cujo produto dá 16 e que somados dão -10? E você vai pensar em -8 e -2. (x - 8) × (x -2) = 0 "x" pode ser igual a 8 ou "x" pode ser igual a 2. Isto é legal da álgebra. Dá para calcular de forma completamente diferentes, mas desde que use cálculos algébricos válidos, não obterá respostas diferentes. De certa forma, assim é mais fácil porque não precisa ficar pensando em quais números multiplicados dão 16 e somados dão -10. Aqui bastou dizer, x - 5. Na verdade teve que dizer que 5 × 5 = 25 e -10 é -5 mais -5, eu retiro que eu disse. Mesmo assim você tem que calcular de cabeça. Vamos fazer mais um. Só mais um para gente se preparar bem. Digamos que tem x² + 18 x + 81 é igual a 1. Tem duas formas de fazer. Podemos subtrair um dos dois lados ou reconhecer que isto é (x + 9) × (x + 9). Isto aqui 9 × 9 = 81. 9 + 9 = 18 Então, dá para escrever a equação como (x + 9)² é igual a 1. Tiro a raiz quadrada dos dois lados. x + 9 = ± √₁, que é 1. Subtraindo 9 dos dois lados. 9 = -9 ± 1. Isso significa que "x" pode ser igual a - 9 + 1 que dá -8 ou "x" pode ser igual a - 9 - 1 que dá -10. E a gente podia ter calculado da forma tradicional. Podíamos ter subtraído 1 dos dois lados e ficaríamos com x² + 18x + 80 = 0. e 8 × 10 = 80 e 8 + 10 = 18 Então, teria (x + 8) × (x + 8) = 0. E chegaria a "x" que pode ser igual a -8 ou "x" que pode ser igual a -10. Foi um bom aquecimento, agora estamos prontos para completar o quadrado.