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Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 9
Lição 3: Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada- Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada
- Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada
- Equações do segundo grau com cálculo de raízes quadradas (introdução)
- Resolução de equações do segundo grau obtendo-se a raiz quadrada: exemplos
- Equações do segundo grau com cálculo de raízes quadradas
- Resolução de equações do segundo grau com o cálculo de raízes quadradas: etapas
- Equações do segundo grau com cálculo de raízes quadradas: estratégia
- Equações do segundo grau com cálculo de raízes quadradas: estratégia
- Equações do segundo grau com cálculo de raízes quadradas: com etapas
- Revisão da resolução de equações simples do segundo grau
- Resolução de equações do segundo grau calculando raízes quadradas: desafio
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Resolução de equações do segundo grau calculando raízes quadradas: desafio
Resolução de equações do segundo grau complexas, como (4x+1)²-8=0 calculando a raiz quadrada de ambos os lados. Criado por Sal Khan e Fundação CK-12.
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Como resolver essa equação do segundo grau
ײ+1 ×-2=0
_ _
15 15(3 votos)
X²/15 + X/15 - 2 =0
Fórmula de Bhaskara
a=1/15, (1/15)x², x²/15
b=1/15, 1x/15 ou simplesmente x/15
c=-2 = -30/15
Resolução:
X= (-b ± √b²-4ac)/2a b²-4ac = 1/225 (-4)1/15(-30/15) b²-4ac = 1/225 +120/15 = 121/225
X= (-1/15±11/15)/(2/15) X, = (-1/15-11/15)*15/2 X,, = (-1/15+11/15)*15/2
-12/15*15/2 = -180/30. 10/15*15/2 = 150/30
X, = -6 X,, = 5
(-6)²/15 + 1(-6)/15 -2 =0 (5)²/15 + 1*5/15 -2 = 0
36/15 + (-6/15) -30/15 =0 25/15 +5/15 -30/15 =0
Solução:
x = (-6,5)(1 voto)
Não entendi nada, como chegou ao resultado e como faz(2 votos)
O que você tem que compreender é quem é B e quem é C na equação (Ax²+Bx+C), agora analise o C e veja quais números múltiplicados dão tal resultado. Por exemplo: x²-10x+25=9 (Por enquanto foque no primeiro lado da equação, esqueça o 9) Bem, se formos analisar veremos que 5.5=25, e só, nesse caso não há nenhum outro número inteiro que múltiplicado dê 25, agora esse mesmo nùmero (-5.-5 que é igual ao C) se somado -5-5 será igual ao valor de B. Quando tal fato ocorre, esta equação é considerada um quadrado perfeito. Espero que tenha ajudado...(8 votos)
- Pode ser assim também: x^2-Sx +16=0
S= -b/2a
P=c/a
S=-(-10)2
S=5
P=16/1
P=16
x=5+ou- raiz quadrada de S - P
x=5+ou- raiz quadrada de S^2-16
x=5+ou- raiz quadrada de 9
x1= 5+3 = 8
x2=5-3 = 2(1 voto) - Por que não usar essa fórmula?
x^2 -10x +25 = 9
Raiz quadrada de x^2 = x
Raiz quadrada de 25 = 5
2(x-5) = -10x
(x-5)^2 = 9
x-5= raiz quadrada de 9
x-5 = +ou-- 3
x= +ou- ( 5+3)
x1= 8 ; x2 = -8(1 voto)- Existe um forma de se resolver equações do segundo grau, até parecida com essa que você usou, que se chama método da soma e do produto. Temos que: ax²+bx+c=0, devemos achar dois números f e g tal que f+g=c e f*g=c. Os dois números podem ser definidos intuitivamente. Depois, (x+f)(x+g)=0, logo x'=-f x''=-g.
No seu caso:
x²- 10x +25 = 9
x² -10x +16 =0
f + g = -10
-2 -8 = -10
f * g = 16
-2 * -8 = 16
(x-2)(x-8) =0
x' =2
x''=8(1 voto)
- x^3 - 5x^2 + 4 = 0
1. Separar os coeficientes da equação. a = 1 ; b = -5 ; c = 0 ; d = 4.
2. Fazer: x = y + m. /// m = - b/3*a. /// m = - ( - 5 )/ 3*1. /// x = y + 5/3.
3. Fazer ( y + 5/3 ) ^3 -5 ( y + 5/3 )^2 + 4 = 0.
4. Desenvolver: y^3+3( 5/3)^2y + 3(5/3) y^2 + (5/3)^3
5. Continua: y^3 + 3 ( 25/9) y + 15/3 y^2 + 125/27
6. Continua: y^3 + 75/9 y + 5 y^2 + 125/27
7. Desenvolver: (y-5/3)^2 /// y^2 + 2(5/3) y + (5/3)^2
8. Continua : y^2 + 10/3 y + 25/9
9. Multiplicar por -5 /// -5 ( y^2 + 10/3 y + 25/9) /// -5y^2 - 50/3 y -124/ 9 .
10. Estendida 6 e 8 /// y^3 +75/9 y + 5 y^2 + 125/27 - 5y^2 - 50/3y -124/9 + 4.
11. Eliminar e somar termos semelhantes: Primeiro termo : y^3. Eliminamos +y^2- Y^2
12. ((75/9)y -(50/3y)) /9 = mmc = 9 /// -75 y / 9 = P
13. 125/27 -125/9 + 4 //// mmc = 27. /// -142/27 = Q.
14. A equação reduzida fica : y^3 - 75/ 9 y - 142/27 = 0
15. P/3 = (-75/9 ) * ( 1/3) = -75/27
16. Q/2 = (-142 /27) * (1/2) = -142/54
17. Delta = ((- 142/54 ) ^2 + ( -75/27 ) ^3 = 6,91 - 21,43 = - 14, 52.
18. Delta é menor que 0.
19. Aplica a fórmula de número 1: -[(I q/2 I)^2 / (I p/3 I)^3 ] = co-seno de teta.
20. Angulo teta através do co-seno: -[(I 142/54 I)^2 / (I 75/27 I)^3 ] ^2 = -0,568
21. Ângulo teta = 124,6108771°
22. Ângulo teta/3 = 41,53695903
23. Co-seno de teta/3 = 0,748528137
24. y = 0,748528137 * -2 * (I 75/27 I)^0,5 = -2,495093791
25. x1 = y+m //// x1 = -2,495093791 + 5/3 = -0,828427124
26. Cálculo de x2 e x3.
27. Ângulo de ( teta/3 + 120° )
28. ( 124,6108771° / 3 + 120° ) = 161,536959°
29. Co-seno de 161,536959 = -0,948528137.
30. y = -0,948528137 * -2 * (I 75/27 I)^0,5 = 3,161760458
31. x2 = y+m ///// x2 = 3,161760458 + 5/3 = 4,828427125.
32. Ângulo de ( teta/3 + 240° )
33. ( 124,6108771/3 + 240° ) = (41,53695903° + 240° ) = 281,36959°
34. Co-seno de 281,36959° = 0,2.
34. y= 0,2*-2*(75/27)^0,5 = -0,666666666666666.
35. m = 5/3.
36. x3 = y + m ////// -0,666666666666666+5/3 = 1.
37. Como se observa, a equação do terceiro grau é incompleta do coeficiente "c".
38. Completa, ficaria assim: x^3 - 5x^2 -0 + 4 = 0.
39. A equação reduzida mostra que com o desenvolvimento do cálculo ficou sem o termo quadrático, como é natural com a aplicação de m= -b/3a, como se pode observar.
40. A fórmula aplicada só é usada quando delta é menor que zero.
41. A solução dessa equação é o resultado das pesquisas sobre equações e seus métodos modernos de solução, envolvendo nomes como o de Cardano, Viettè e outros, para torná-las mais compreensíveis para quem deseja ir mais alem nessa ciência dos números. Outra providência que se faz necessário é colocar os cálculos mais importantes com letras em negrito ou com cores vermelhas, pois isso desperta a importância do que foi encontrado no decorrer dos cálculos, onerando no volume de cores aplicadas, mas trazendo uma cara nova e mais atraente. Mais adiante virão soluções de outras equações do segundo e terceiro grau, com maior dificuldade de solução.
Dica para quem gosta de equação do terceiro grau!(1 voto) - Que numero inteiro representa raiz Quadrada de 20 ?(1 voto)
- X ao quadrado menos 1 é igual(1 voto)
- X ao quadrado - 1 e igual?(1 voto)
- Y ao quadrado menos 81 é igual(1 voto)
Quando eu utilizo o método de subtrair dos dois lados da equação, ao final da conta, os resultados ficam sempre com o sinal oposto (como o último exemplo)?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Neste vídeo vou fazer vários exemplos de equações de segundo grau de uma forma especial, e é um aquecimento para o próximo vídeo que vamos mostrar, como completar quadrados para resolver equações desse tipo. Vou mostrar sobre o que estou falando. Digamos que eu tenha 4x, +1
ao quadrado, -8, igual a 0. Pelo que vimos até agora, pode querer multiplicar e depois subtrair 8 da constante e depois tentar fatorar e aí vai ficar com x menos alguma coisa, vezes,
x menos outra coisa, é igual a zero. Aí vai achar que um deles tem que
ser igual a zero ou isso ou isto. Não vamos fazer isso desta vez
porque podemos ver algo interessante aqui. Podemos resolver a equação sem fatoração. Como? O que acontece se somar 8 aos dois lados da equação? O lado esquerdo da equação se torna
(4x + 1)², os 8 se anulam, o lado direito vira simplesmente 8. O que podemos fazer aos dois lados da equação,
isto é uma forma simples de solucionar uma equação,
não tem nada de fatoração sofisticada, podemos calcular a raiz quadrada dos dois lados da equação. A raiz quadrada, então, "x" "x" não.
4x + 1. Só estou calculando a raiz quadrada e eu a cálculo dos dois lados. E, claro, precisamos da raiz quadrada positiva e negativa, porque 4x + 1 pode ser a raiz positiva de 8 ou a raiz negativa de 8. 4x + 1 é igual a raiz quadrada positiva ou negativa de 8. Em vez de 8, vou escrever 8 como 4 × 2.
Sabemos que 8 é isso. E a √₍₄ₓ₊₁₎²
é 4x + 1. Então, ficamos com 4x + 1 é igual a,
dá para fatorar o 4, ou a √₄ que é 2, é igual a mais ou menos,
vezes 2×√₂. Certo? A √₄ × √₂ = ± √₄ × √₂, e isso é igual a ± √₄ que é igual ao 2 aqui. Pode parecer uma equação bizarra com
± 2×√₂, mas não é. Esses são dois números. Estamos solucionando duas equações ao mesmo tempo. A gente poderia escrever como 4x + 1 que é igual a 2√₂ ou 4x + 1 que é igual a -2×√₂. Esta sentença é equivalente a esta porque temos esse maior ou menor aqui, esse ou. Vou solucioná-las simultaneamente. Seu subtrair 1 dos dois lados da equação, fico com o quê? Do lado esquerdo ficou com 4x. Do lado direito, não dá para calcular sem usar a calculadora. Mas eu vou deixar como -1 ± 2 × √₂. 4x é igual a isso. Se a gente solucionasse separadamente, seria a mesma ideia. Se subtrair um dos dois lados da equação, ficamos com 4x = -1 + 2×√₂. Aqui subtrai 1 dos dois lados. 4x = -1 - 2 × √₂. Essa sentença aqui é totalmente equivalente a essas duas sentenças. O último passo é dividir os dois lados por quatro.
Vamos dividir os dois por 4. E, ficamos com
x = -1 ± 2×√₂ sobre 4. Essa sentença equivalente a dividir cada uma dessas por 4, e você fica com x = -1 + 2×√₂ sobre 4. Esta é uma solução.
A outra solução é x = -1 -2×√₂, tudo isso sobre 4. Estas sentenças são equivalentes. Vamos substituir uma delas de volta só pra ver que, algo tão bizarro quanto essas expressões, pode ser a solução para uma equação simples.
Vamos substituir de volta. 4 × (-1 + 2√₂) sobre 4 + 1² - 8 = 0. Os 4 se anulam e você fica com (1 + 2√₂ + 1)² - 8 = 0. O - 1 e 1 se anulam, e fica com
(2√₂)² - 8 = 0 E vamos ficar com o quê? Elevado ao quadrado, ficamos com 4 × 2 - 8 = 0. O que é verdade, 8 - 8 é igual a 0.
E, se tentar com essa vai obter a mesma resposta. Vamos fazer outro. Estas são formas especiais, então tem quadrados de binômios nas expressões. E, veremos que a fórmula de Bhaskara deriva de uma noção assim, porque é possível transformar qualquer equação de segundo grau em um quadrado perfeito igual à outra coisa. Veremos mais adiante. Mas vamos nos acostumar a ver esse tipo de coisa. Digamos que tem
x² - 10x + 25 = 9. De novo, a tentação seria subtrair 9 dos dois lados pra ficar com um 0 à direita, mas antes de fazer isso, analise. Trata-se do quadrado perfeito de um binômio? Quais dois números que multiplicados dão 25 e que somados dão -10? E a resposta é -5. Então, esta expressão aqui é (x - 5) × (x - 5). O lado esquerdo pode ser escrito como (x - 5)²
e o lado direito continua sendo 9. E, eu quero enfatizar bem. Não quero estragar tudo o que aprendeu em fatoração. Eu só digo que pode fazer isto
quando for um quadrado perfeito. Se fosse (x - 4) × (x + 4) e isso seria igual a 9,
não daria certo. Você não chegaria a nada construtivo. Só por ser um quadrado perfeito é que pode dizer que
(x - 5)² = 9. Agora dá para calcular a raiz quadrada dos dois lados. Dá pra falar que (x - 5) = ± 3. Somando 5 aos dois lados da equação, ficamos com o
x = 5 ± 3. Ou "x" é igual a, quanto dá 5 + 3? "x" pode ser 8 ou "x" pode ser igual a 5 - 3 ou x = 2. Poderíamos ter solucionado esta equação de segundo grau da forma tradicional. O que acontece se subtrair 9 dos dois lados da equação? Ficamos com um x² - 10x. E quanto dá 25 - 9? 25 - 9 dá 16. E isso seria igual a 0. Esse seria um problema de fatoração tradicional, do tipo que vimos nos últimos vídeos. Quais dois números cujo produto dá 16
e que somados dão -10? E você vai pensar em -8 e -2. (x - 8) × (x -2) = 0 "x" pode ser igual a 8 ou
"x" pode ser igual a 2. Isto é legal da álgebra. Dá para calcular de forma completamente diferentes, mas desde que use cálculos algébricos válidos, não obterá respostas diferentes. De certa forma, assim é mais fácil porque não precisa ficar pensando em quais números multiplicados dão 16 e somados dão -10. Aqui bastou dizer, x - 5. Na verdade teve que dizer que 5 × 5 = 25 e -10 é
-5 mais -5, eu retiro que eu disse. Mesmo assim você tem que calcular de cabeça.
Vamos fazer mais um. Só mais um para gente se preparar bem. Digamos que tem x² + 18 x + 81 é igual a 1. Tem duas formas de fazer. Podemos subtrair um dos dois lados ou reconhecer que isto é (x + 9) × (x + 9). Isto aqui 9 × 9 = 81. 9 + 9 = 18 Então, dá para escrever a equação como (x + 9)² é igual a 1. Tiro a raiz quadrada dos dois lados.
x + 9 = ± √₁, que é 1. Subtraindo 9 dos dois lados.
9 = -9 ± 1. Isso significa que "x" pode ser igual a - 9 + 1 que dá -8 ou "x" pode ser igual a - 9 - 1 que dá -10. E a gente podia ter calculado da forma tradicional. Podíamos ter subtraído 1 dos
dois lados e ficaríamos com x² + 18x + 80 = 0. e 8 × 10 = 80 e 8 + 10 = 18 Então, teria (x + 8) × (x + 8) = 0. E chegaria a "x" que pode ser igual a -8
ou "x" que pode ser igual a -10. Foi um bom aquecimento, agora estamos prontos para completar o quadrado.