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Resolução de equações do segundo grau por fatoração

Neste vídeo, resolvemos a equação s^2-2s-35=0 fatorando a expressão à esquerda como (s+5)(s-7) e encontrando os valores de s que tornam cada fator igual a zero. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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  • Avatar duskpin ultimate style do usuário Raysa Gomes
    E se o coeficiente líder não for 1 ? tem como fatorar do mesmo jeito ?
    (6 votos)
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    • Avatar male robot hal style do usuário Ricardo Alex Zarzycki
      Olá Raysa!
      Sim, tem como fatorar do mesmo jeito. Basta deixar em evidência esse coeficiente.
      Vamos pegar uma equação de segundo grau qualquer como exemplo:

      3x² + 15x + 18 = 0

      A ideia aqui é evidenciar o número 3, então ficará desse jeito:

      3(x² + 5x + 6) = 0

      Veja que dividimos todos os termos por 3 e deixamos esse 3 em evidência.
      Agora é só fatorar o que está dentro de parênteses, como é mostrado no vídeo, deixando o número 3 de “lado”, ficando desse jeito:

      3(x+2)(x+3) = 0

      Agora é só descobrir os valores que o “x” deve possuir para que a equação seja verdadeira, ou seja, que resulte em zero. Então:

      - Quando x = -2

      3(x+2)(x+3) = 0
      3(-2+2)(-2+3) = 0
      3(0)(1) = 0
      0 = 0 (verdadeiro, então o -2 é raiz)

      - Quando x = -3

      3(x+2)(x+3) = 0
      3(-3+2)(-3+3) = 0
      3(-1)(0) = 0
      0 = 0 (verdadeiro, então o -3 é raiz)

      Após muita prática você conseguirá fatorar mentalmente. E isso é muito útil, pois ao invés de usar a “fórmula geral para resolução da equação polinomial do segundo grau” (conhecido no Brasil como “fórmula de Bhaskara”) para achar as raízes, você utiliza o método de fatoração e conseguirá achar as raízes da equação em 10 segundo (sim, muito rápido mesmo) e economizar tempo e lápis.
      Porém, quando a equação é um pouco mais complicada envolvendo frações, utilizar o método de fatoração se torna muito difícil, trabalhoso e demorado. Aí não tem jeito. Terá que utilizar a “fórmula de Bhaskara” mesmo.
      Então a dica é primeiramente tentar resolver as equações do segundo grau pelo método de fatoração. Se você achar frações difíceis de resolver por esse método, abandone-o e parta para Bhaskara. Agilidade em vestibulares e concursos (e não apenas nesses) é fundamental!
      Isso pode parecer complicado no começo, não se preocupe. Depois que você trabalhar bastante com fatoração ficará muito fácil ver quando é viável utilizá-lo ou não! Mas é preciso fazer muitos exercícios.
      Espero ter ajudado você.
      Bons estudos!
      (21 votos)
  • Avatar blobby green style do usuário silasbsobrinho
    Caraca essa voz até parece a do Goku dando aula de matemática!

    FAAAA TOOOO RAAARR TOOOO RAAAAAAAAAAAAARR
    (kkkkk)
    (3 votos)
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  • Avatar aqualine seed style do usuário Victor Hauari
    Qual são todas as respostas?
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style do usuário Bhendon Wesley
    Oh lêh lêh, oh lá lá kkkkkkjjkkk EU AMO ESSE CARA!
    (3 votos)
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  • Avatar aqualine seed style do usuário rasecventura
    Oh lele, oh lala foi demais, deu até um up pra entender melhor kkkkkkkkk
    (2 votos)
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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Dands
    Marrapaiz... Agr td faz sentido, abraço Wendel!
    (2 votos)
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  • Avatar hopper cool style do usuário Samuel
    ooh leh leh ooh laa laa muito engraçado mais acho que ele e o unico proffesor que da aula pra mim no khan
    (2 votos)
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  • Avatar male robot hal style do usuário Ito
    Não entendi essa explicação 100%.
    (1 voto)
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    • Avatar starky ultimate style do usuário Tarcísio Nunes
      Você quer dizer que não entendeu nada, 100% de dúvida? Ou você quer dizer que não chegou nos 100%?

      De qualquer forma, o ideal é seguir a diante, pode ser que nos próximos exercícios você consiga compreender melhor, não pare, após chegar ao final, volte e veja se consegue compreender!
      (2 votos)
  • Avatar male robot hal style do usuário TiimmyTurner
    Olelê Olalá
    esperem um pouquinho
    que vamos fatorar!
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar hopper jumping style do usuário Daniel
    Eu vim uma vez neste tópico sem querer e fiquei perdido, chateado. Eis então que notei ter pulado alguns outros antes deste, e então voltei e os estudei. Agora tudo faz sentido.
    (1 voto)
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Transcrição de vídeo

RKA - Devemos encontrar o valor de "s" e tem a expressão "s" ao quadrado, "-2s", -35, igual a zero. Se esta é a primeira vez que você vê esse tipo de expressão de segundo grau, pode querer tentar encontrar o valor de "s" pelos meios algébricos tradicionais, mas a melhor forma, principalmente quando é explicitamente igual a zero, é fatorar o lado esquerdo e depois pensar no fato de que os binômios que você gerou têm que ser iguais a zero. Vamos fazer isso. Como fatorar isso? Já vimos várias formas. Vou fazer da forma padrão por agrupamento e tem um atalho quando temos o 1 como coeficiente aqui. Quando fatoramos uma expressão por agrupamento, pensamos em dois números cuja soma vai ser igual a -2. A soma de dois números "a + b = -2", e o produto deles vai ser igual a -35. "a × b = -35". Se o produto é um número negativo, um tem que ser positivo e outro negativo. Se pensar bem, com 5 e -7 acho que vai funcionar. 5 + (-7) = -2. Para fatorar por agrupamento, você divide o termo do meio. Podemos dividir isso em, tem "s²", e depois o termo do meio. Vou fazer de rosa. Posso escrever o termo do meio como "+5s -7s", e depois tem o -35. E, tudo isso é igual a 0. Chama Fatoração por Agrupamento porque agrupamos. Podemos agrupar esses dois primeiros termos e eles têm um fator comum "s". Vamos fatorar. Tem "s × s + 5" é a mesma coisa que "s² +5s". Ño s dois termos seguintes tem um fator comum de -7. Então vamos fatorar. Tem "-7 × s + 5", e tudo isso é igual a 0. Agora tem dois termos e os dois têm 5. Os dois têm "s + 5" como fator. Então vamos fatorar. Olê lê, olá lá, vamos fatorar. Tem "s + 5" vezes este "s" aqui. Certo. "s + 5 × s" nos dá esse termo. Depois tem menos aquele 7 ali. Eu retive o "s + 5", e isto vai ser igual a 0. Agora que fatoramos, a gente tem que pensar no que acontece quando tem o produto de dois números. " s + 5" é um número e "s - 7" é outro número. E o produto desses dois números é igual a 0. Se eu disser que tenho dois números, se eu disser que tenho o produto dos números "a × b = 0", que podemos afirmar sobre o "a" e o "b"? Pelo menos um deles tem que ser igual a zero ou os dois têm que ser igual a zero. O fato desse número vezes este ser igual a zero, diz que "s + 5 = 0", ou talvez os dois. Ou "s - 7 = 0". Vou fazer de verde. Ou "s - 7 = 0". Tem essas duas equações. Podemos dizer e/ou, ou, ou/e, tanto faz. E as duas podem ser iguais a zero. Vamos ver como podemos calcular isso. Dá para subtrair 5 dos dois lados dessa equação. Do lado esquerdo tem "s = -5", esta é uma solução para a equação. Ou podemos somar 7 aos dois lados dessa equação e ficamos com "s = 7". Se " = -5", ou "s = 7", satisfizermos esta equação. Podemos verificar se "s = -5", tem 25 + 10 que dá -35, isso é igual a 0. Se é igual a 7, 49 - 14 - 35 = 0. Então, encontramos "s". Mencionei uma forma mais fácil de fazer. Quando tem algo assim, onde 1 é o coeficiente líder, não precisa fatorar em duas etapas. Vou mostrar um exemplo. Se tiver (x + a) × (x + b), isso é igual a quê? "x × a" dá "x²", "x × b" é "bx" "a × x" é "+ax", "a × b" é "ab". "+ab". Então, tem "x²". Esses dois podem ser somados "+ a + bx + ab". Esse é o padrão que tem aqui. Tem 1 como coeficiente líder aqui, e 1 como coeficiente líder aqui. Quando nossos dois números somados dão -2, que é o nosso "a + b" e tem o produto que chega a -35, podemos fatorar diretamente no produto dessas duas coisas. Ou o produto dos binômios onde esses serão os "a" e os "b". Já sabemos 5 e -7. 5 + (-7) = -2. 5 × (-7) = -35. Podemos fatorar diretamente. 2, este era um caso de "s". Então, poderíamos fatorar diretamente para o caso de (s + 5) × (s - 7). A gente poderia ter feito direto e chegaria a isso e tudo é igual a 0. Teria sido um atalho, mas fatorar por agrupamento também é uma forma muito apropriada de calcular.