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Problema de equações do segundo grau: dimensões de um triângulo

Resolução de um problema de geometria usando uma equação do segundo grau. Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.

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Transcrição de vídeo

RKA - A altura de um triângulo é 4 centímetros menor que a base. A área do triângulo é 30 centímetros ao quadrado. Encontre a altura e a base. Use a fórmula "A" igual a meio, vezes base vezes altura, para a área do triângulo. Então, vamos pensar um pouco sobre isso. Vou desenhar um triângulo. Este é o nosso triângulo. E vamos dizer que o comprimento desse lado de baixo é a base. Vamos chamar isso de "b". E esta é a altura, a altura bem aqui. "h", a área igual à metade da base vezes altura. "A" é igual a meia base vezes altura. A primeira frase está dizendo que a altura de um triângulo de 4 centímetros é menor que o comprimento da base. Então, a altura é igual a base "b" - 4. É o que a primeira frase nos diz. A área do triângulo é 30 cm². Se pegarmos metade da base vezes altura, vamos obter 30 cm² ou podemos dizer que 30 cm² é igual a meio vezes a base vezes a altura. Agora, em vez de colocar aquele "h" para a altura, a gente sabe que a altura é a mesma coisa que "b" - 4. Então vamos colocar isso ali. Vamos ver o que conseguimos aqui. Vou colocar em amarelo. Nós temos 30 igual "b" sobre 2 vezes b - 4. Agora vamos multiplicar o "b" sobre 2. Vamos distribuir o "b" sobre 2. Então 30 é igual a "b" ao quadrado sobre 2. "b" sobre 2 vezes "b" é só "b" ao quadrado sobre 2. Então, "b" sobre 2 vezes - 4 é menos "2b". Agora vamos resolver essa fração aqui. Vamos multiplicar os dois lados dessa equação por 2. Vamos multiplicar esse lado por 2 e vamos multiplicar aquele lado por 2. Do lado esquerdo você obtém 60, do lado direito, duas vezes "b" ao quadrado sobre 2 é só "b" ao quadrado. 2 menos "b" vezes 2 é -"4b". E, agora, temos uma equação de segundo grau. A melhor forma de resolver essa equação, nós temos um termo de segundo grau aqui, é ter todos os termos de um lado da equação e tê-los igual a zero. Então, vamos subtrair 60 dos dois lados da equação. Vamos subtrair 60 dos dois lados e temos zero igual a "b" ao quadrado - "4b" menos 60. Então, o que precisamos fazer agora é fatorar. Você tem que saber que se temos o produto de alguma coisa, e isso é igual a zero, significa que uma ou as duas coisas precisam ser iguais a zero Então, precisamos fazer a fatoração de "b" ao quadrado - "4b" - 60. O que queremos fazer é achar dois números cuja soma é -4, e que o produto seja -60. A gente quer encontrar dois números cuja soma é igual a -4 e o produto seja igual ao -60. Dado que o produto é negativo, sabemos que eles terão sinais diferentes e isso nos diz que seu valor absoluto será com uma diferença de 4, será 4 menor que o outro. Vamos olhar para os fatores de 60. Um e 60, que são muito distantes, se transformássemos um deles em negativo teríamos 59 ou - 59, como uma soma. 2 e 30, ainda muito distantes. 3 e 20, ainda muito distantes. Se transformássemos um deles em negativo teríamos - 17 ou +17. Então poderíamos ter 4 e 15, ainda muito distantes. Se transformássemos um deles em negativo, a soma seria -11 ou 11, e teríamos 5 e 12, ainda muito distantes. Um é negativo, então teríamos soma sendo +7 ou -7. Agora, temos 6 e 10. Aí fica interessante. A diferença entre eles é 4 e queremos o maior número para ser negativo, para a soma ser negativa. Se transformássemos em 6 ou -10, a soma deles seria -4, e seu produto -60, então funciona. Pode-se dizer que é igual, é igual a "b" mais 6 vezes "b" menos 10. Vou tomar cuidado. Esse "b" aqui é diferente do "b" que estamos usando na equação. Só usei esse "b" para dizer: "Olha, estamos procurando por dois números que são somados a esse segundo termo". É um "b" diferente. Eu poderia ter usado "x" e "y" igual a -4, e "x" vezes "y" é igual a -60. Na verdade, deixa eu fazer dessa forma. Poderíamos escrever "x" mais "y" é igual a -4. E temos "x" vezes "y" igual a -60. Temos "b" + 6 vezes "b" + "y". "x" é 6 e "y" é -10. E isso é igual a zero. E você poderia dizer, vamos resolver isso e aí voltamos e mostramos que também poderia resolver agrupando. Sabemos que tanto "b" + 6 é igual a zero ou "b" - 10 é igual a zero. Se subtrairmos 6 dos dois lados da equação, obtemos "b" igual a -6. Ou, se somarmos 10 aos dois lados dessa equação você tem "b" igual a 10. E eles são nossas duas soluções. Você poderia colocá-los de volta e verificar que eles satisfazem nossas restrições. Outra forma que poderia resolver isso é quebrando em "-4b" suas restrições. Eu poderia quebrar isso em zero igual a "b" ao quadrado. E poderia quebrar em + "6b" - "10b" - 60. E a fatoração é por agrupamento. Agrupe esses primeiros dois termos, agrupe esses dois segundos termos, então some tudo junto. O primeiro que pode fazer a fatoração é "b". Para ter "b" vezes "b" + 6. O segundo você deve fazer o fatorial de -10. Então -10 vezes "b" + 6. Tudo isso é igual a zero. Para fazer o fatorial de "b" + 6, você faz a fatoração de "b" + 6, obtém zero igual a "b" - 10 vezes "b" + 6. Só estamos fazendo a fatoração dessa expressão. Sobra "b" - 10. A gente fez a mesma coisa desse passo aqui. De qualquer forma, a solução é "b" igual a -6. Ou "b" igual a 10. Temos que tomar cuidado aqui. Lembre que este é um problema, não podemos simplesmente dizer "ah, 'b' pode ser -6 ou pode ser 10". Temos que pensar se isso faz sentido no contexto desse problema atual. Estamos falando sobre medidas em triângulos ou medidas dos lados do triângulo. Não podemos ter uma medida negativa. Por causa disso, a base do triângulo tem um comprimento de 6 negativo. Então, - 6 não convém e nos resta uma única solução. Quase cometi um erro, esqueci a regra dos problemas. A única base possível é 10. Eles dizem "encontre a altura e a base". Mais uma vez terminamos. Então a base é 10 e a altura é 4 centímetros a menos. É um "b" - 4. Então a altura é 6. E aí podemos verificar: a área é 6 vezes 10 vezes meio, que é 30.